Упр.5.18 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 5.18 Найдите область определения функции: а) y= корень 6 степени x3-6×2+11x-6+ корень 6×3+17×2+6x-8; б) y= корень 4 степени (2×3-3×2-3x+2)/(x2-9×2+20x-12); в) y= корень 6 степени 2×3-11×2+18x-9 — корень 4 степени 1/(4×3-11×2+6,5x-1); г) y = корень 8 степени (6×3+11×2-19x+6)/(x3-8,25×2+14x-3).
а) Для существования функции нужно, чтобы подкоренные выражения были неотрицательны:
$$x^3-6x^2+11x-6\ge 0,$$
$$6x^3+17x^2+6x-8\ge 0.$$
Разложим на множители:
$$x^3-6x^2+11x-6=(x-1)(x-2)(x-3),$$
$$6x^3+17x^2+6x-8=(x+2)(6x^2+5x-4)=(x+2)\left(x+\frac23\right)\left(x-\frac12\right).$$
Тогда
$$ (x-1)(x-2)(x-3)\ge 0, \\ (x+2)\left(x+\frac23\right)\left(x-\frac12\right)\ge 0. $$
Пересечение решений этих неравенств даёт:
$$D(y)=[1;2]\cup[3;+\infty).$$
б) Подкоренное выражение четвёртой степени должно быть неотрицательным, а знаменатель дроби — отличен от нуля:
$$\frac{2x^3-3x^2-3x+2}{x^3-9x^2+20x-12}\ge 0,\qquad x^3-9x^2+20x-12\ne 0.$$
Разложим числитель и знаменатель:
$$2x^3-3x^2-3x+2=(x+1)(2x-1)(x-2),$$
$$x^3-9x^2+20x-12=(x-1)(x-2)(x-6).$$
Получаем
$$\frac{(x+1)(2x-1)(x-2)}{(x-1)(x-2)(x-6)}\ge 0.$$
С учётом сокращения и исключения точек разрыва $x=1,2,6$ получаем
$$D(y)=(-\infty;-1]\cup\left[\frac12;1\right)\cup(6;+\infty).$$
в) Для первого корня:
$$2x^3-11x^2+18x-9\ge 0.$$
Разложим:
$$2x^3-11x^2+18x-9=(x-1)(2x^2-9x+9)=(x-1)(2x-3)(x-3).$$
Тогда
$$x\in[1;\tfrac32]\cup[3;+\infty).$$
Для второго корня нужно, чтобы подкоренное выражение было положительным, так как оно стоит в знаменателе:
$$4x^3-11x^2+6{,}5x-1>0.$$
Умножим на $2$:
$$8x^3-22x^2+13x-2>0.$$
Разложим:
$$8x^3-22x^2+13x-2=(x-2)(4x-1)(2x-1).$$
Отсюда
$$x\in\left(\frac14;\frac12\right)\cup(2;+\infty).$$
Пересечение двух условий:
$$D(y)=[3;+\infty).$$
г) Нужно, чтобы дробь под корнем восьмой степени была неотрицательной, а знаменатель — не равен нулю:
$$\frac{6x^3+11x^2-19x+6}{x^3-8{,}25x^2+14x-3}\ge 0,\qquad x^3-8{,}25x^2+14x-3\ne 0.$$
Разложим на множители:
$$6x^3+11x^2-19x+6=(x+3)(6x^2-7x+2)=(x+3)(2x-1)(3x-2),$$
$$x^3-8{,}25x^2+14x-3=(x-2)(x-6)\left(x-\frac14\right).$$
Тогда
$$\frac{(x+3)(2x-1)(3x-2)}{(x-2)(x-6)\left(x-\frac14\right)}\ge 0.$$
По методу интервалов получаем
$$D(y)=(-\infty;-3]\cup\left[\frac14;\frac12\right]\cup\left[\frac23;2\right)\cup(6;+\infty).$$
Ответ
а) $$D(y)=[1;2]\cup[3;+\infty).$$
б) $$D(y)=(-\infty;-1]\cup\left[\frac12;1\right)\cup(6;+\infty).$$
в) $$D(y)=[3;+\infty).$$
г) $$D(y)=(-\infty;-3]\cup\left[\frac14;\frac12\right]\cup\left[\frac23;2\right)\cup(6;+\infty).$$
