Упр.5.17 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 5.17 а) y= корень 4 степени (10×3-21×2+4)/(x2-4x-21); б) y= корень 6 степени 4×2+11,5x-1,5 — корень x3-x2-10x-8; в) y= корень 8 степени (x3-12x+16)/(x2-2x-15); г) y= (корень 4 степени -x3+5×2-8x+4)/(корень x2-9|x| + 18.
а) Для существования корня четной степени нужно, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным:
$$\frac{10x^3-21x^2+4}{x^2-4x-21}\ge 0,$$
при этом
$$x^2-4x-21\ne 0.$$
Разложим на множители:
$$10x^3-21x^2+4=(x-2)(10x^2-x-2)=(x-2)(5x+2)(2x-1),$$
$$x^2-4x-21=(x-7)(x+3).$$
Тогда
$$\frac{(x-2)(5x+2)(2x-1)}{(x-7)(x+3)}\ge 0.$$
По знакам на промежутках получаем:
$$x\in(-3;-\tfrac25]\cup[\tfrac12;2]\cup(7;+\infty).$$
б) Нужно, чтобы оба подкоренных выражения были неотрицательны:
$$4x^2+11{,}5x-1{,}5\ge 0,$$
$$x^3-x^2-10x-8\ge 0.$$
Первое неравенство:
$$8x^2+23x-3\ge 0,$$
$$D=23^2+4\cdot 8\cdot 3=625,$$
$$x_1=-3,\quad x_2=\frac18.$$
Значит,
$$x\le -3 \quad \text{или} \quad x\ge \frac18.$$
Второе неравенство:
$$x^3-x^2-10x-8=(x+1)(x^2-2x-8)=(x+1)(x+2)(x-4)\ge 0.$$
Отсюда
$$x\in[-2;-1]\cup[4;+\infty).$$
Пересечение условий:
$$x\in[4;+\infty).$$
в) Для существования корня восьмой степени нужно:
$$\frac{x^3-12x+16}{x^2-2x-15}\ge 0,$$
$$x^2-2x-15\ne 0.$$
Разложим на множители:
$$x^3-12x+16=(x-2)^2(x+4),$$
$$x^2-2x-15=(x-5)(x+3).$$
Тогда
$$\frac{(x-2)^2(x+4)}{(x-5)(x+3)}\ge 0.$$
Так как $$ (x-2)^2\ge 0, $$ получаем
$$x\in[-4;-3)\cup\{2\}\cup[5;+\infty).$$
г) Здесь нужно, чтобы числитель был неотрицателен, а знаменатель — положителен:
$$-x^3+5x^2-8x+4\ge 0,$$
$$x^2-9|x|+18>0.$$
Первое неравенство:
$$-x^3+5x^2-8x+4=(x-1)(x-2)^2\le 0,$$
откуда
$$x\le 1 \quad \text{или} \quad x=2.$$
Второе неравенство рассмотрим по случаям.
Если $$x\ge 0,$$ то
$$x^2-9x+18>0,$$
$$ (x-3)(x-6)>0,$$
значит, $$x<3$$ или $$x>6.$$
Если $$x<0,$$ то
$$x^2+9x+18>0,$$
$$ (x+3)(x+6)>0,$$
значит, $$x<-6$$ или $$x>-3.$$
С учетом условия для числителя получаем:
$$x\in(-\infty;-6)\cup(-3;1]\cup\{2\}.$$
Ответ
а) $$(-3;-\tfrac25]\cup[\tfrac12;2]\cup(7;+\infty)$$
б) $$[4;+\infty)$$
в) $$[-4;-3)\cup\{2\}\cup[5;+\infty)$$
г) $$(-\infty;-6)\cup(-3;1]\cup\{2\}$$
