Упр.5.15 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 5.15 а) y= корень 25-x2+ корень 8 степени x2-1; б) y= корень 6 степени x2-6x+5 — корень x2-3x; в) y= корень 12 степени x2-9- корень 10 степени из 16-x2; г) y= корень 12 степени 15-2x-x2+ корень x2+6x+8.

1. а) $$y=\sqrt{25-x^2}+\sqrt[8]{x^2-1}$$

   Для существования первого корня нужно:

   $$25-x^2\ge 0 \Rightarrow x^2\le 25 \Rightarrow -5\le x\le 5.$$

   Для существования второго корня нужно:

   $$x^2-1\ge 0 \Rightarrow x^2\ge 1 \Rightarrow x\le -1 \text{ или } x\ge 1.$$

   Пересекаем условия:

   $$D(y)=[-5;-1]\cup[1;5].$$

2. б) $$y=\sqrt[6]{x^2-6x+5}-\sqrt{x^2-3x}$$

   Нужно, чтобы оба подкоренных выражения были неотрицательны:

   $$x^2-6x+5\ge 0,$$

   $$x^2-3x\ge 0.$$

   Решим первое неравенство:

   $$x^2-6x+5=(x-1)(x-5)\ge 0 \Rightarrow x\le 1 \text{ или } x\ge 5.$$

   Решим второе неравенство:

   $$x^2-3x=x(x-3)\ge 0 \Rightarrow x\le 0 \text{ или } x\ge 3.$$

   Пересечение множеств:

   $$D(y)=(-\infty;0]\cup[5;+\infty).$$

3. в) $$y=\sqrt[12]{x^2-9}-\sqrt[10]{16-x^2}$$

   Требуется:

   $$x^2-9\ge 0,$$

   $$16-x^2\ge 0.$$

   Первое неравенство:

   $$x^2-9=(x-3)(x+3)\ge 0 \Rightarrow x\le -3 \text{ или } x\ge 3.$$

   Второе неравенство:

   $$16-x^2\ge 0 \Rightarrow x^2\le 16 \Rightarrow -4\le x\le 4.$$

   Пересечение:

   $$D(y)=[-4;-3]\cup[3;4].$$

4. г) $$y=\sqrt[12]{15-2x-x^2}+\sqrt{x^2+6x+8}$$

   Нужно:

   $$15-2x-x^2\ge 0,$$

   $$x^2+6x+8\ge 0.$$

   Первое неравенство:

   $$15-2x-x^2\ge 0 \Rightarrow x^2+2x-15\le 0,$$

   $$x^2+2x-15=(x+5)(x-3)\le 0 \Rightarrow -5\le x\le 3.$$

   Второе неравенство:

   $$x^2+6x+8=(x+4)(x+2)\ge 0 \Rightarrow x\le -4 \text{ или } x\ge -2.$$

   Пересечение:

   $$D(y)=[-5;-4]\cup[-2;3].$$

Ответ

а) $$[-5;-1]\cup[1;5]$$; б) $$(-\infty;0]\cup[5;+\infty)$$; в) $$[-4;-3]\cup[3;4]$$; г) $$[-5;-4]\cup[-2;3]$$.