Упр.5.13 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 5.13 а) y= корень x2+4x-12; б) y=корень 12 степени 15-x2-2x; в) y= корень x2-8x+12; г) y= корень 6 степени 4-x2-3x.

Подробный ответ

а) $$y=\sqrt{x^2+4x-12}$$
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
$$x^2+4x-12\ge 0$$
Найдём корни квадратного трёхчлена:
$$D=4^2-4\cdot 1\cdot(-12)=16+48=64$$
$$x_{1,2}=\frac{-4\pm 8}{2}$$
$$x_1=-6,\quad x_2=2$$
Тогда
$$x^2+4x-12=(x+6)(x-2)\ge 0$$
Отсюда
$$x\le -6 \quad \text{или} \quad x\ge 2$$
б) $$y=\sqrt[12]{15-x^2-2x}$$
Для чётного корня требуется:
$$15-x^2-2x\ge 0$$
Перенесём всё в одну сторону:
$$x^2+2x-15\le 0$$
Найдём корни:
$$D=2^2-4\cdot 1\cdot(-15)=4+60=64$$
$$x_{1,2}=\frac{-2\pm 8}{2}$$
$$x_1=-5,\quad x_2=3$$
Тогда
$$x^2+2x-15=(x+5)(x-3)\le 0$$
Следовательно,
$$-5\le x\le 3$$
в) $$y=\sqrt{x^2-8x+12}$$
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
$$x^2-8x+12\ge 0$$
Найдём корни:
$$D=8^2-4\cdot 1\cdot 12=64-48=16$$
$$x_{1,2}=\frac{8\pm 4}{2}$$
$$x_1=2,\quad x_2=6$$
Тогда
$$x^2-8x+12=(x-2)(x-6)\ge 0$$
Отсюда
$$x\le 2 \quad \text{или} \quad x\ge 6$$
г) $$y=\sqrt[6]{4-x^2-3x}$$
Для чётного корня:
$$4-x^2-3x\ge 0$$
Перепишем неравенство:
$$x^2+3x-4\le 0$$
Найдём корни:
$$D=3^2-4\cdot 1\cdot(-4)=9+16=25$$
$$x_{1,2}=\frac{-3\pm 5}{2}$$
$$x_1=-4,\quad x_2=1$$
Тогда
$$x^2+3x-4=(x+4)(x-1)\le 0$$
Следовательно,
$$-4\le x\le 1$$