Упр.4.14 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 4.14. Подберите показатель корня n так, чтобы выполнялось равенство: а) корень n степени из 117 649 = 7; в) корень n степени из 46656 = 6; б) корень n степени из (-12 209/243)=-1 2/3 г) корень n степенииз 3 13/81=1 1/3

1. а) $$\sqrt[n]{117649}=7$$

   Представим число $$117649$$ как степень числа $$7$$:

   $$117649=7^6$$

   Тогда

   $$\sqrt[n]{7^6}=7$$

   Значит, $$n=6$$.

2. б) $$\sqrt[n]{-12\frac{209}{243}}=-1\frac{2}{3}$$

   Преобразуем смешанное число и неправильную дробь:

   $$-12\frac{209}{243}=-\frac{3125}{243}, \qquad -1\frac{2}{3}=-\frac{5}{3}$$

   Заметим, что

   $$\frac{3125}{243}=\frac{5^5}{3^5}=\left(\frac{5}{3}\right)^5$$

   Следовательно,

   $$\sqrt[n]{-\left(\frac{5}{3}\right)^5}=-\frac{5}{3}$$

   Отсюда $$n=5$$.

3. в) $$\sqrt[n]{46656}=6$$

   Представим число $$46656$$ как степень числа $$6$$:

   $$46656=6^6$$

   Тогда

   $$\sqrt[n]{6^6}=6$$

   Значит, $$n=6$$.

4. г) $$\sqrt[n]{3\frac{13}{81}}=1\frac{1}{3}$$

   Преобразуем смешанные числа:

   $$3\frac{13}{81}=\frac{256}{81}, \qquad 1\frac{1}{3}=\frac{4}{3}$$

   Заметим, что

   $$\frac{256}{81}=\frac{4^4}{3^4}=\left(\frac{4}{3}\right)^4$$

   Следовательно,

   $$\sqrt[n]{\left(\frac{4}{3}\right)^4}=\frac{4}{3}$$

   Отсюда $$n=4$$.

Ответ

а) $$6$$; б) $$5$$; в) $$6$$; г) $$4$$.