Упр.34.7 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

Рассмотрим уравнение

$$ax^2+4x-a+5=0.$$

Это квадратное уравнение относительно $$x$$ при $$a\ne 0$$. Его дискриминант:

$$D=4^2-4\cdot a\cdot(5-a)=16-20a+4a^2=4(a^2-5a+4)=4(a-1)(a-4).$$

Тогда:

• если $$D>0$$, уравнение имеет два различных корня;
• если $$D=0$$, уравнение имеет один корень;
• если $$D<0$$, уравнение не имеет корней.

Отдельно рассмотрим случай $$a=0$$. Тогда уравнение становится линейным:

$$4x+5=0,$$

откуда

$$x=-\frac{5}{4}.$$

Значит, при $$a=0$$ уравнение имеет один корень.

а) Два различных корня будут тогда и только тогда, когда

$$D>0,$$

то есть

$$4(a-1)(a-4)>0.$$

Так как $$4>0$$, получаем

$$ (a-1)(a-4)>0.$$

Отсюда

$$a\in(-\infty;1)\cup(4;+\infty).$$

Но при $$a=0$$ уравнение тоже имеет один корень, поэтому для пункта а) это значение не подходит.

Итак,

$$a\in(-\infty;0)\cup(0;1)\cup(4;+\infty).$$

б) Ровно один корень уравнение имеет, если либо $$D=0$$, либо $$a=0$$.

Из условия $$D=0$$ получаем

$$4(a-1)(a-4)=0,$$

откуда

$$a=1 \text{ или } a=4.$$

С учётом случая $$a=0$$ имеем:

$$a\in\{0;1;4\}.$$

в) Корней нет, если

$$D<0,$$

то есть

$$4(a-1)(a-4)<0.$$

Следовательно,

$$1<a<4.$$

Ответ

а) $$a\in(-\infty;0)\cup(0;1)\cup(4;+\infty)$$;

б) $$a\in\{0;1;4\}$$;

в) $$a\in(1;4)$$.