Упр.34.49 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

Чтобы множество значений функции содержало только одно целое число, достаточно, чтобы все значения функции лежали между двумя соседними целыми числами:

$$0<\frac{x^2-2x-a}{x^2+6}<2.$$

Так как $$x^2+6>0$$ при всех $$x,$$ получаем систему неравенств:

$$ \begin{cases} x^2-2x-a>0,\\ x^2-2x-a<2x^2+12. \end{cases} $$

Первое неравенство:

$$x^2-2x-a>0.$$

Чтобы оно выполнялось при всех $$x,$$ квадратный трёхчлен должен не иметь действительных корней:

$$D= (-2)^2-4\cdot 1\cdot(-a)=4+4a<0,$$

откуда

$$a<-1.$$

Второе неравенство:

$$x^2-2x-a<2x^2+12,$$

или

$$x^2+2x+a+12>0.$$

Чтобы это неравенство выполнялось при всех $$x,$$ нужно, чтобы дискриминант был отрицательным:

$$D=2^2-4(a+12)=4-4a-48=-4a-44<0,$$

откуда

$$a>-11.$$

Совмещая условия, получаем:

$$-11<a<-1.$$

Ответ

$$a\in(-11;\,-1).$$