Упр.34.47 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 34.47. Известно, что уравнение (2а + 3)х2 + ах + 3х + 1 = 0 имеет хотя бы один корень. При каких значениях параметра а число корней этого уравнения равно числу корней уравнения (21-a)/(1+2x) = 3 + корень x-3?

Подробный ответ

Рассмотрим второе уравнение:

$$\frac{21-a}{1+2x}=3+\sqrt{x-3}.$$

Область определения: $$x\ge 3,$$ $$1+2x\ne 0.$$ При $$x\ge 3$$ условие $$1+2x\ne 0$$ выполняется автоматически.

Правая часть не меньше $$3,$$ значит и левая должна быть не меньше $$3$$. Функция $$3+\sqrt{x-3}$$ возрастает, а функция $$\frac{21-a}{1+2x}$$ при фиксированном параметре убывает на $$x\ge 3$$, поэтому пересечение может быть только одно. Следовательно, второе уравнение должно иметь ровно один корень.

При $$x=3$$ получаем:

$$\frac{21-a}{7}=3,$$

откуда

$$21-a=21,\qquad a=0.$$

Но при $$a=0$$ первое уравнение

$$6x^2+3x+1=0$$

не имеет действительных корней, так как

$$D=3^2-4\cdot 6\cdot 1=9-24=-15<0.$$

Значит, $$a=0$$ не подходит.

Теперь рассмотрим первое уравнение:

$$ (2a+3)x^2+(a+3)x+1=0.$$

Чтобы оно имело хотя бы один корень, нужно:

$$D=(a+3)^2-4(2a+3)\ge 0.$$

Тогда

$$D=a^2+6a+9-8a-12=a^2-2a-3=(a-3)(a+1)\ge 0.$$

Отсюда

$$a\le -1 \quad \text{или} \quad a\ge 3.$$

При $$a=-\frac32$$ уравнение становится линейным:

$$\left(2\cdot\left(-\frac32\right)+3\right)x^2+\left(-\frac32+3\right)x+1=0,$$

то есть

$$\frac32x+1=0,$$

и оно имеет один корень.

При $$a=-1$$ дискриминант равен нулю, значит тоже один корень.

При $$a\ge 3$$ уравнение имеет два корня или один кратный, но для совпадения числа корней с вторым уравнением нужен ровно один корень. Проверим случай $$a=3$$:

$$9x^2+6x+1=0,$$

$$D=36-36=0,$$

то есть один корень.

Однако для второго уравнения при $$a=3$$ имеем

$$\frac{18}{1+2x}=3+\sqrt{x-3}.$$

При $$x=3$$ левая часть равна $$\frac{18}{7}<3,$$ значит пересечения в точке $$x=3$$ нет, а других пересечений быть не может. Следовательно, второй корень отсутствует.

Остаются значения $$a=-\frac32$$ и $$a=-1$$. Для них первое уравнение имеет по одному корню, и второе уравнение также имеет по одному корню.