Упр.34.46 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 34.46. Найдите все значения параметра а, при которых области определения функции у = (a(x+0,5)+ a3корень x — x(0,5+xlogx(a) — a3,5)0,5 принадлежит лишь одно целое число.

Подробный ответ

Область определения функции задаётся условиями:

$$a>0,\quad x>0,\quad x\ne 1,$$

а также неотрицательностью выражения под корнем:

$$a^{x+0,5}+a^3\sqrt{x}-x^{0,5+x\log_x a}-a^{3,5}\ge 0.$$

Преобразуем:

$$a^{x+0,5}=a^x\sqrt{a},\qquad x^{0,5+x\log_x a}=\sqrt{x}\cdot x^{\log_x a}=\sqrt{x}\cdot a.$$

Тогда

$$a^x\sqrt{a}+a^3\sqrt{x}-a\sqrt{x}-a^3\sqrt{a}\ge 0,$$

$$a^x(\sqrt{a}-\sqrt{x})-a^3(\sqrt{a}-\sqrt{x})\ge 0,$$

$$\bigl(a^x-a^3\bigr)\bigl(\sqrt{a}-\sqrt{x}\bigr)\ge 0.$$

Рассмотрим случаи.

Если $$0<a<1$$, то функция $$a^x$$ убывает, и неравенство выполняется при $$x<a$$ или $$x>3$$. Тогда множество допустимых $$x$$ содержит бесконечно много целых чисел, что не подходит.
Если $$a=1$$, то из условия $$x\ne 1$$ и неравенства получаем $$0<x<1$$ или $$x>1$$. Целых чисел здесь бесконечно много, значит, этот случай не подходит.
Если $$a>1$$, то знак произведения зависит от расположения $$x$$ относительно чисел $$a$$ и $$3$$.
- при $$1<a<3$$ получаем $$a\le x\le 3$$, и целое число здесь одно только при $$2<a<3$$;
- при $$a=3$$ получаем единственное целое число $$x=3$$;
- при $$a>3$$ получаем $$3\le x\le a$$, и единственное целое число будет только при $$3<a<4$$.

Объединяя подходящие случаи, получаем:

$$2<a<4.$$