Упр.34.45 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 34.45. Найдите все положительные значения параметра а, при которых неравенство |2х + a|x| — 13| больше или равно 1 выполняется для всех х из отрезка [-3; 3].

Подробный ответ

Рассмотрим неравенство

$$|2x+a|x|-13|\ge 1.$$

Оно равносильно совокупности двух неравенств:

$$2x+a|x|-13\le -1 \quad \text{или} \quad 2x+a|x|-13\ge 1.$$

То есть

$$2x+a|x|\le 12 \quad \text{или} \quad 2x+a|x|\ge 14.$$

Проверим второе неравенство при $x=0$:

$$2\cdot 0+a|0|=0,$$

поэтому оно не выполняется. Значит, для всех $x\in[-3;3]$ должно выполняться первое неравенство:

$$2x+a|x|\le 12.$$

Рассмотрим его по случаям.

1) Если $x\ge 0$, то $|x|=x$, и получаем

$$2x+ax\le 12,$$

$$x(a+2)\le 12.$$

Так как $a>0$, то $a+2>0$, значит

$$x\le \frac{12}{a+2}.$$

Чтобы это неравенство выполнялось для всех $x\in[0;3]$, нужно, чтобы

$$3\le \frac{12}{a+2}.$$

Отсюда

$$a+2\le 4,$$

$$a\le 2.$$

2) Если $x<0$, то $|x|=-x$, и

$$2x-ax\le 12,$$

$$x(2-a)\le 12.$$

При $0<a\le 2$ имеем $2-a\ge 0$, а так как $x<0$, то левая часть не превосходит $0$, следовательно, неравенство выполняется для всех $x\in[-3;0)$. При $a>2$ получаем

$$x\ge \frac{12}{2-a},$$

что не может выполняться для всех $x\in[-3;0)$.

Значит, подходят только значения параметра, при которых

$$0<a\le 2.$$