Упр.34.44 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 34.44. При каких значениях параметра а уравнение 4х + 2 = = а * 2х * siПиx имеет единственный корень?

Преобразуем уравнение:

$$4^x+2=a\cdot 2^x\sin \pi x,$$

$$2^{2x}+2=a\cdot 2^x\sin \pi x,$$

$$2^x+\frac{2}{2^x}=a\sin \pi x.$$

Запишем его в симметричном виде:

$$\sqrt2\left(2^{x-\frac12}+2^{-x+\frac12}\right)=a\sin \pi x.$$

Пусть $x=t$ — корень этого уравнения. Тогда из-за симметрии также корнем будет и число $1-t$, потому что

$$\sin \pi(1-t)=\sin \pi t,$$

а левая часть при замене $x$ на $1-x$ не меняется.

Чтобы корень был единственным, должно выполняться

$$t=1-t,$$

откуда

$$t=\frac12.$$

Подставим $x=\frac12$ в исходное уравнение:

$$4^{\frac12}+2=a\cdot 2^{\frac12}\sin \frac{\pi}{2},$$

$$2+2=a\sqrt2,$$

$$a=2\sqrt2.$$

Проверим, что при этом значении параметра корень действительно единственный. Подставим $a=2\sqrt2$:

$$\sqrt2\left(2^{x-\frac12}+2^{-x+\frac12}\right)=2\sqrt2\sin \pi x,$$

$$2^{x-\frac12}+2^{-x+\frac12}=2\sin \pi x.$$

Так как

$$2^{x-\frac12}+2^{-x+\frac12}\ge 2,$$

а

$$2\sin \pi x\le 2,$$

то равенство возможно только при одновременном выполнении

$$2^{x-\frac12}+2^{-x+\frac12}=2,$$

$$2\sin \pi x=2.$$

Отсюда получаем

$$x=\frac12.$$

Значит, при $a=2\sqrt2$ уравнение имеет единственный корень.

Ответ

$$a=2\sqrt2.$$