Упр.34.43 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 34.43. При каких положительных значениях параметра а неравенство 2х2 — alnx < 0 имеет хотя бы одно решение?

Подробный ответ

Рассмотрим функцию $$f(x)=2x^2-a\ln x,$$ где $$x>0,\ a>0.$$

Чтобы неравенство $$2x^2-a\ln x<0$$ имело хотя бы одно решение, необходимо, чтобы наименьшее значение функции $$f(x)$$ было отрицательным.

Найдём производную:

$$f'(x)=4x-\frac{a}{x}=\frac{4x^2-a}{x}.$$

Так как $$x>0,$$ знак производной определяется числителем $$4x^2-a.$$

Решим уравнение $$f'(x)=0$$:

$$4x^2-a=0,$$

$$x=\frac{\sqrt a}{2}.$$

Это единственная стационарная точка. При $$0<x<\frac{\sqrt a}{2}$$ имеем $$f'(x)<0,$$ а при $$x>\frac{\sqrt a}{2}$$ имеем $$f'(x)>0.$$ Значит, в точке $$x=\frac{\sqrt a}{2}$$ функция достигает минимума.

Вычислим минимальное значение:

$$f\!\left(\frac{\sqrt a}{2}\right)=2\left(\frac{\sqrt a}{2}\right)^2-a\ln\frac{\sqrt a}{2}$$

$$=\frac a2-a\ln\frac{\sqrt a}{2}=\frac a2-\frac a2\ln\frac a4$$

$$=\frac a2\left(1-\ln\frac a4\right).$$

Для существования решений нужно:

$$\frac a2\left(1-\ln\frac a4\right)<0.$$

Так как $$a>0,$$ то

$$1-\ln\frac a4<0,$$

$$\ln\frac a4>1,$$

$$\frac a4>e,$$

$$a>4e.$$