Упр.34.42 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 34.42. При каких значениях параметра а система уравнений ах2 + а — 1 = у — |sinx|, |tgx|+|y|=1 имеет единственное решение?

Подробный ответ

Заметим, что обе функции в системе чётные:

$$a(-x)^2=ax^2,\qquad |\sin(-x)|=|\sin x|,\qquad |\tg(-x)|=|\tg x|.$$

Поэтому если $$\left(x_1;y_1\right)$$ — решение системы, то и $$\left(-x_1;y_1\right)$$ тоже решение. Значит, при $$x_1\ne 0$$ решений как минимум два. Следовательно, единственное решение возможно только при $$x=0$$.

Подставим $$x=0$$ в систему:

$$ \begin{cases} a\cdot 0^2+a-1=y-|\sin 0|,\\ |\tg 0|+|y|=1. \end{cases} $$

Получаем:

$$ \begin{cases} a-1=y,\\ |y|=1. \end{cases} $$

Отсюда $$y=1$$ или $$y=-1$$, значит:

$$a-1=1 \Rightarrow a=2,$$

или

$$a-1=-1 \Rightarrow a=0.$$

Проверим оба значения.

1) $$a=2$$. Тогда система имеет вид

$$ \begin{cases} 2x^2+1=y-|\sin x|,\\ |\tg x|+|y|=1. \end{cases} $$

Из второго уравнения следует $$|y|\le 1$$. Тогда из первого уравнения правая часть не превосходит нуля, а левая неотрицательна, значит обе части равны нулю:

$$ 2x^2=0,\qquad y-|\sin x|-1=0. $$

Отсюда $$x=0$$, $$y=1$$. Проверка во втором уравнении проходит:

$$|\tg 0|+|1|=0+1=1.$$

Значит, при $$a=2$$ система имеет единственное решение $$\left(0;1\right)$$.

2) $$a=0$$. Тогда система принимает вид

$$ \begin{cases} -1=y-|\sin x|,\\ |\tg x|+|y|=1. \end{cases} $$

Подходят, например, все пары $$\left(\pi n;-1\right)$$, где $$n\in\mathbb Z$$, поэтому решений бесконечно много.

Следовательно, единственное решение система имеет только при $$a=2$$.