Упр.34.41 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 34.41. При каких значениях параметра а система уравнений |х2 — 7х + б| + х2 + 5х + 6 — 12|х| = 0, х2 — 2(а — 2)х + а(а — 4) = О имеет два решения?

Подробный ответ

Рассмотрим первое уравнение системы:
$$|x^2-7x+6|+x^2+5x+6-12|x|=0.$$

1) Если $$x\ge 0$$, то $$|x|=x$$, и уравнение принимает вид
$$|x^2-7x+6|+x^2+5x+6-12x=0,$$
то есть
$$|x^2-7x+6|=-(x^2-7x+6).$$
Это возможно, когда
$$x^2-7x+6\le 0.$$
Разложим на множители:
$$x^2-7x+6=(x-1)(x-6),$$
откуда
$$1\le x\le 6.$$
Значит, при $$x\ge 0$$ решения первого уравнения — все $$x\in[1;6]$$.

2) Если $$x<0$$, то $$|x|=-x$$, и получаем
$$|x^2-7x+6|+x^2+5x+6+12x=0,$$
то есть
$$|x^2-7x+6|+x^2+17x+6=0.$$

При $$x<0$$ имеем $$x^2-7x+6>0$$, значит
$$|x^2-7x+6|=x^2-7x+6.$$
Тогда
$$x^2-7x+6+x^2+17x+6=0,$$
$$2x^2+10x+12=0,$$
$$x^2+5x+6=0,$$
$$ (x+2)(x+3)=0.$$
Отсюда
$$x=-2 \text{ или } x=-3.$$
Оба корня подходят условию $$x<0$$.

Итак, решения первого уравнения:
$$x\in\{-3,-2\}\cup[1;6].$$

Теперь рассмотрим второе уравнение системы:
$$x^2-2(a-2)x+a(a-4)=0.$$

Найдём его корни:
$$D=4(a-2)^2-4a(a-4)=16,$$
$$x_{1,2}=\frac{2(a-2)\pm 4}{2}.$$
Следовательно,
$$x_1=a-4,\qquad x_2=a.$$

Система имеет два решения тогда и только тогда, когда оба корня второго уравнения принадлежат множеству решений первого уравнения, причём они различны и дают ровно две точки пересечения.

Проверим возможные значения:

$$a-4=-3 \Rightarrow a=1,$$ тогда второй корень $$a=1\in[1;6]$$;
$$a-4=-2 \Rightarrow a=2,$$ тогда второй корень $$a=2\in[1;6]$$;
если $$1\le a-4\le 6,$$ то
$$5\le a\le 10,$$
и одновременно $$a\in[1;6]$$, значит
$$5\le a\le 6.$$

Других случаев нет.