Упр.34.40 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 34.40. При каких значениях параметра а графики функций у = а|х + 1| и у = х + а2 |х| пересекаются в трех точках?

Рассмотрим три промежутка для переменной $$x$$: $$x<-1$$, $$-1\le x<0$$, $$x\ge 0$$.

1) При $$x\ge 0$$:

$$ a(x+1)=x+a^2x $$
$$ ax+a=x+a^2x $$
$$ x(a^2-a+1)=a $$
$$ x=\frac{a}{a^2-a+1} $$

Так как $$a^2-a+1>0$$ при любых $$a$$, то для попадания в промежуток $$x\ge 0$$ нужно $$a\ge 0$$.

2) При $$-1\le x<0$$:

$$ a(x+1)=x-a^2x $$
$$ ax+a=x-a^2x $$
$$ x(a^2+a-1)=-a $$
$$ x=-\frac{a}{a^2+a-1} $$

Чтобы эта точка лежала на отрезке $$[-1,0)$$, нужно:

$$ -\frac{a}{a^2+a-1}\ge -1,\qquad -\frac{a}{a^2+a-1}<0 $$

Из этих неравенств получаем:

$$ \frac{(a+1)(a-1)}{a^2+a-1}\ge 0,\qquad \frac{a}{a^2+a-1}>0 $$

Отсюда

$$ -\frac{1+\sqrt5}{2}<a<-\frac{1-\sqrt5}{2} \quad \text{или} \quad a>0. $$

3) При $$x<-1$$:

$$ -a(x+1)=x-a^2x $$
$$ -ax-a=x-a^2x $$
$$ x(a^2-a-1)=a $$
$$ x=\frac{a}{a^2-a-1} $$

Для попадания в промежуток $$x<-1$$ нужно:

$$ \frac{a}{a^2-a-1}<-1,\qquad \frac{a}{a^2-a-1}<0 $$

Это даёт:

$$ 1<a<\frac{1+\sqrt5}{2}. $$

Чтобы графики пересекались в трёх точках, должны выполняться условия для всех трёх промежутков одновременно. Общая часть полученных условий:

$$ 1<a<\frac{1+\sqrt5}{2}. $$

Ответ

$$ a\in\left(1,\frac{1+\sqrt5}{2}\right) $$