Упр.34.34 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 34.34. Сколько корней при различных значениях а имеет уравнение: a) корень x = х — а;б) корень 4 — х2 = х + а?

а) Рассмотрим уравнение $$\sqrt{x}=x-a.$$

Обозначим $$f(x)=\sqrt{x}, \quad g(x)=x-a.$$

Число корней равно числу точек пересечения графиков функций $$y=\sqrt{x}$$ и $$y=x-a.$$

Прямая $$y=x-a$$ будет касательной к графику $$y=\sqrt{x}$$ в точке, где производная равна угловому коэффициенту прямой:

$$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}=1.$$

Отсюда

$$2\sqrt{x}=1, \quad \sqrt{x}=\frac12, \quad x=\frac14.$$

Подставим в уравнение:

$$\frac12=\frac14-a,$$

$$a=-\frac14.$$

Значит:

• если $$a<-\frac14,$$ то корней нет;
• если $$a=-\frac14$$ или $$a>0,$$ то один корень;
• если $$-\frac14<a\le 0,$$ то два корня.

б) Рассмотрим уравнение $$\sqrt{4-x^2}=x+a.$$

Обозначим $$f(x)=\sqrt{4-x^2}, \quad g(x)=x+a.$$

Число корней равно числу точек пересечения графиков $$y=\sqrt{4-x^2}$$ и $$y=x+a.$$

Найдём значение $$a$$, при котором прямая касается полуокружности. Для этого приравняем производную к угловому коэффициенту прямой:

$$f'(x)=\frac{-x}{\sqrt{4-x^2}}=1.$$

Тогда

$$-x=\sqrt{4-x^2}.$$

Возведём в квадрат:

$$x^2=4-x^2,$$

$$2x^2=4,$$

$$x^2=2,$$

$$x=\pm\sqrt2.$$

Так как $$-x=\sqrt{4-x^2}\ge 0,$$ то подходит только $$x=-\sqrt2.$$

Подставим в уравнение:

$$\sqrt{4-2}=-\sqrt2+a,$$

$$\sqrt2=-\sqrt2+a,$$

$$a=2\sqrt2.$$

Значит:

• если $$a<-2$$ или $$a>2\sqrt2,$$ то корней нет;
• если $$-2\le a<2$$ или $$a=2\sqrt2,$$ то один корень;
• если $$2\le a<2\sqrt2,$$ то два корня.

Ответ

а) $$a<-\frac14$$ — корней нет; $$a=-\frac14$$ или $$a>0$$ — один корень; $$-\frac14<a\le 0$$ — два корня.

б) $$a<-2$$ или $$a>2\sqrt2$$ — корней нет; $$-2\le a<2$$ или $$a=2\sqrt2$$ — один корень; $$2\le a<2\sqrt2$$ — два корня.