Упр.34.39 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 34.39. а) Сколько корней имеет уравнение ||х| — 2| — а при различных значениях параметра а? б) Решите уравнение |х — 1| + |х — 3| = а.

Подробный ответ

а) Рассмотрим функцию $$y=||x|-2|.$$

График этой функции получается из графика $$y=|x|-2$$ отражением части, лежащей ниже оси $$Ox$$, вверх. Поэтому

$$ y= \begin{cases} 2-|x|, & |x|\le 2,\\ |x|-2, & |x|\ge 2. \end{cases} $$

Значения функции неотрицательны, то есть $$y\ge 0.$$

Теперь смотрим, сколько точек пересечения имеет график с прямой $$y=a$$:

если $$a<0,$$ корней нет;
если $$a=0,$$ получаем два корня: $$x=-2$$ и $$x=2$$;
если $$0<a<2,$$ прямая пересекает график в четырёх точках;
если $$a=2,$$ получаем три корня: $$x=0,$$ $$x=-4,$$ $$x=4$$;
если $$a>2,$$ получаем два корня.

б) Рассмотрим уравнение $$|x-1|+|x-3|=a.$$

Разобьём ось на промежутки:

$$ |x-1|+|x-3|= \begin{cases} (1-x)+(3-x)=4-2x, & x<1,\\ (x-1)+(3-x)=2, & 1\le x\le 3,\\ (x-1)+(x-3)=2x-4, & x>3. \end{cases} $$

На отрезке $$[1;3]$$ левая часть равна $$2,$$ значит:

если $$a<2,$$ корней нет;
если $$a=2,$$ любое $$x\in[1;3]$$ — корень;
если $$a>2,$$ получаем два корня из уравнений
$$4-2x=a \quad \text{и} \quad 2x-4=a.$$

Отсюда

$$ x=\frac{4-a}{2}, \qquad x=\frac{a+4}{2}. $$