Упр.34.38 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 34.38. При каких значениях а: а) в уравнении (х — а)2 — 12|х — а| + 35 = О число отрицательных корней равно числу положительных корней; б) в уравнении (х + а)2 — 6|х + а| + 8 = 0 число положительных корней больше числа отрицательных корней?

а) Положим $$t=|x-a|.$$ Тогда получаем уравнение

$$t^2-12t+35=0.$$

Решим его:

$$D=12^2-4\cdot 35=144-140=4,$$

$$t_{1,2}=\frac{12\pm 2}{2}, \quad t_1=5,\; t_2=7.$$

Значит,

$$|x-a|=5 \quad \text{или} \quad |x-a|=7.$$

Отсюда получаем корни:

$$x=a-5,\; a+5,\; a-7,\; a+7.$$

Чтобы число отрицательных корней было равно числу положительных, нужно, чтобы два корня были меньше нуля, а два — больше нуля. Это возможно, если

$$a-5<0 \quad \text{и} \quad a+5>0.$$

Тогда

$$-5<a<5.$$

б) Положим $$t=|x+a|.$$ Тогда

$$t^2-6t+8=0.$$

Решим:

$$D=6^2-4\cdot 8=36-32=4,$$

$$t_{1,2}=\frac{6\pm 2}{2}, \quad t_1=2,\; t_2=4.$$

Следовательно,

$$|x+a|=2 \quad \text{или} \quad |x+a|=4.$$

Корни уравнения:

$$x=-a-2,\; -a+2,\; -a-4,\; -a+4.$$

Чтобы положительных корней было больше, чем отрицательных, точка $$-a-2$$ должна быть неотрицательной:

$$-a-2\ge 0,$$

откуда

$$a\le -2.$$

Ответ

а) $$-5<a<5$$; б) $$a\le -2$$.