Упр.34.36 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 34.36. При каких значениях а существуют два решения: а) системы y=|x-2|, y=ax+1; б) уравнения |х + 4| = ах + 2?

Подробный ответ

а) Рассмотрим систему

$$ \begin{cases} y=|x-2|,\\ y=ax+1. \end{cases} $$

Число решений системы равно числу точек пересечения графиков функции $$y=|x-2|$$ и прямой $$y=ax+1$$.

График $$y=|x-2|$$ — это ломаная с вершиной в точке $$ (2,0) $$.

Чтобы система имела два решения, прямая должна пересекать обе ветви графика в двух различных точках. Это происходит при

$$ -\frac12<a<1. $$

б) Рассмотрим уравнение

$$ |x+4|=ax+2. $$

Перепишем его в виде

$$ |x+4|-2=ax. $$

График функции $$y=|x+4|-2$$ — ломаная с вершиной в точке $$(-4,-2)$$. Уравнение имеет два решения, если прямая $$y=ax$$ пересекает этот график в двух точках.

Для этого нужно, чтобы прямая пересекала обе ветви ломаной, то есть

$$ -1<a<\frac12. $$