Упр.34.35 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 34.35. При каких значениях р уравнение | 3х + 6| = рх + 2 имеет: а) один корень;б) два корня?

Рассмотрим уравнение

$$|3x+6|=px+2.$$

Преобразуем модуль:

$$|3x+6|=3|x+2|,$$

поэтому удобно сравнивать графики функций $$y=|3x+6|$$ и $$y=px+2.$$

График $$y=|3x+6|$$ — это V-образная ломаная с вершиной в точке $$(-2;0)$$. Прямая $$y=px+2$$ всегда проходит через точку $$\,(0;2)\,$$.

Число корней уравнения равно числу точек пересечения этих графиков.

1) Один корень получается, если прямая:

• параллельна одной из сторон графика модуля: $$p=-3$$;
• проходит через вершину графика: $$p=1$$;
• пересекает график только в одной точке справа: $$p>3$$;
• пересекает график только в одной точке слева: $$p<-3$$.

Значит, при одном корне

$$p\in(-\infty;-3]\cup\{1\}\cup(3;+\infty).$$

2) Два корня получаются, когда прямая пересекает обе стороны графика модуля, то есть при

$$-3<p<1.$$

Ответ

а) $$p\in(-\infty;-3]\cup\{1\}\cup(3;+\infty)$$

б) $$-3<p<1$$