Упр.34.33 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 34.33. При каких значениях а: а) уравнение х4 — 8х2 + 4 = а не имеет корней; б) уравнение 3х4 + 4х3 — 12х2 = а имеет не менее трех корней?

а) Рассмотрим функцию $$y=x^4-8x^2+4.$$

Найдём производную:

$$y’=4x^3-16x=4x(x-2)(x+2).$$

Критические точки: $$x=-2,\;0,\;2.$$

Вычислим значения функции в них:

$$y(-2)=16-32+4=-12,$$

$$y(0)=4,$$

$$y(2)=16-32+4=-12.$$

Так как при $$x\to \pm\infty$$ имеем $$y\to +\infty,$$ то наименьшее значение функции равно $$-12.$$

Следовательно, уравнение $$x^4-8x^2+4=a$$ не имеет корней, если прямая $$y=a$$ расположена ниже графика функции, то есть при

$$a<-12.$$

б) Рассмотрим функцию $$y=3x^4+4x^3-12x^2.$$

Найдём производную:

$$y’=12x^3+12x^2-24x=12x(x^2+x-2)=12x(x+2)(x-1).$$

Критические точки: $$x=-2,\;0,\;1.$$

Вычислим значения функции в них:

$$y(-2)=3\cdot 16+4\cdot(-8)-12\cdot 4=-32,$$

$$y(0)=0,$$

$$y(1)=3+4-12=-5.$$

Горизонтальная прямая $$y=a$$ имеет с графиком функции не менее трёх общих точек тогда и только тогда, когда

$$-5\le a\le 0.$$

Ответ

а) $$a\in(-\infty;\,-12);$$ б) $$a\in[-5;\,0].$$