Упр.34.32 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 34.32. При каких значениях а уравнение имеет ровно три корня: а) х(х + 3)2 + а = 0; б) х3 — 12х + 1 = а?

а) Рассмотрим функцию $$y=x(x+3)^2=x^3+6x^2+9x.$$

Найдём её производную:

$$y’ = 3x^2+12x+9 = 3(x^2+4x+3)=3(x+3)(x+1).$$

Критические точки: $$x=-3$$ и $$x=-1.$$

Значения функции в них:

$$y(-3)=(-3)\cdot 0^2=0,$$

$$y(-1)=(-1)\cdot 2^2=-4.$$

Значит, у графика есть максимум $$0$$ и минимум $$-4.$$

Уравнение $$x(x+3)^2+a=0$$ равносильно

$$x(x+3)^2=-a.$$

Чтобы оно имело ровно три корня, прямая $$y=-a$$ должна пересекать график функции в трёх точках, то есть

$$-4<-a<0.$$

Отсюда

$$0<a<4.$$

б) Рассмотрим функцию $$y=x^3-12x+1.$$

Найдём производную:

$$y’ = 3x^2-12 = 3(x^2-4)=3(x-2)(x+2).$$

Критические точки: $$x=-2$$ и $$x=2.$$

Значения функции в них:

$$y(-2)=(-2)^3-12(-2)+1=-8+24+1=17,$$

$$y(2)=2^3-12\cdot 2+1=8-24+1=-15.$$

Чтобы уравнение $$x^3-12x+1=a$$ имело ровно три корня, прямая $$y=a$$ должна пересекать график в трёх точках, то есть

$$-15<a<17.$$

Ответ

а) $$a\in(0;4)$$; б) $$a\in(-15;17)$$.