Упр.34.31 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 34.31. Решите уравнение: а) корень a cos 2х + 3 sin 2х = cosx, если известно, что х = 0 — корень уравнения; б) корень 2 sin 2х — a cos 2х = -sinx, если известно, что х = Пи/2 — корень уравнения.

Подробный ответ

а) Пусть $$\sqrt{a\cos 2x+3\sin 2x}=\cos x.$$

Так как известно, что $$x=0$$ — корень уравнения, подставим это значение:

$$\sqrt{a\cos 0+3\sin 0}=\cos 0$$

$$\sqrt{a}=1$$

$$a=1.$$

Тогда уравнение принимает вид

$$\sqrt{\cos 2x+3\sin 2x}=\cos x.$$

Возведём обе части в квадрат, учитывая область определения $$\cos x\ge 0$$:

$$\cos 2x+3\sin 2x=\cos^2 x.$$

Используем формулы $$\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x$$ и $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$:

$$\cos^2 x-\sin^2 x+6\sin x\cos x=\cos^2 x$$

$$6\sin x\cos x-\sin^2 x=0$$

$$\sin x(6\cos x-\sin x)=0.$$

Отсюда:

1) $$\sin x=0 \Rightarrow x=\pi n.$$

С учётом $$\cos x\ge 0$$ получаем $$x=2\pi n.$$

2) $$6\cos x-\sin x=0 \Rightarrow \tg x=6 \Rightarrow x=\arctg 6+\pi n.$$

С учётом $$\cos x\ge 0$$ остаются значения

$$x=\arctg 6+2\pi n.$$

б) Пусть $$\sqrt{2\sin 2x-a\cos 2x}=-\sin x.$$

Так как известно, что $$x=-\dfrac{\pi}{2}$$ — корень уравнения, подставим это значение:

$$\sqrt{2\sin\left(2\cdot\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)\right)-a\cos\left(2\cdot\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)\right)}=-\sin\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)$$

$$\sqrt{2\sin(-\pi)-a\cos(-\pi)}=1$$

$$\sqrt{a}=1$$

$$a=1.$$

Тогда уравнение имеет вид

$$\sqrt{2\sin 2x-\cos 2x}=-\sin x.$$

Возведём обе части в квадрат, учитывая область определения $$-\sin x\ge 0$$, то есть $$\sin x\le 0$$:

$$2\sin 2x-\cos 2x=\sin^2 x.$$

Подставим формулы $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$ и $$\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x$$:

$$4\sin x\cos x-\cos^2 x+\sin^2 x=\sin^2 x$$

$$4\sin x\cos x-\cos^2 x=0$$

$$\cos x(4\sin x-\cos x)=0.$$

Отсюда: