Упр.34.29 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 34.29. При каких значениях а: а) уравнение 5^2х — 3 * 5х + а — 1 = 0 имеет единственный корень; б) уравнение 0,01x — 2(а + 1) * 0,1х + 4 = 0 не имеет действительных корней?

Подробный ответ

а) Положим $$y=5^x.$$ Тогда получаем квадратное уравнение

$$y^2-3y+a-1=0.$$

Чтобы исходное уравнение имело единственный корень, возможны два случая:

квадратное уравнение имеет один корень, то есть $$D=0$$;
квадратное уравнение имеет два корня, но только один из них положительный.

Найдём дискриминант:

$$D=9-4(a-1)=13-4a.$$

1) Если $$D=0,$$ то

$$13-4a=0,\qquad a=\frac{13}{4}.$$

Тогда уравнение имеет единственный корень $$y=\frac{3}{2}>0,$$ значит, подходит.

2) Если $$D>0,$$ то корни квадратного уравнения имеют сумму $$3$$ и произведение $$a-1.$$ Чтобы был ровно один положительный корень, нужно $$a-1<0,$$ то есть $$a<1.$$

При $$a=1$$ уравнение имеет корни $$0$$ и $$3,$$ но $$y=0$$ не подходит, так как $$5^x>0.$$ Поэтому $$a=1$$ тоже подходит.

Итак,

$$a\in(-\infty;1]\cup\left\{\frac{13}{4}\right\}.$$

б) Положим $$y=0{,}1^x.$$ Тогда

$$y^2-2(a+1)y+4=0.$$

Чтобы исходное уравнение не имело действительных корней, квадратное уравнение должно либо не иметь корней, либо иметь только неположительные корни.

Найдём дискриминант:

$$D=4(a+1)^2-16=4\bigl((a+1)^2-4\bigr)=4(a+3)(a-1).$$

1) Если $$D<0,$$ то

$$-3<a<1.$$

2) Если $$D\ge 0,$$ то корни квадратного уравнения имеют сумму $$2(a+1)$$ и произведение $$4.$$ Чтобы оба корня были неположительными, нужно, чтобы их сумма была неположительной:

$$2(a+1)\le 0,\qquad a\le -1.$$

Но при $$a\le -1$$ дискриминант уже неотрицателен, а корни при произведении $$4>0$$ будут одного знака; для неположительных корней это возможно только при $$a<1.$$

Объединяя случаи, получаем:

$$a<1.$$