Упр.34.27 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

а) Преобразуем левую часть к виду одной тригонометрической функции:

$$\sqrt{3}\sin x+\cos x=a$$

$$2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x+\frac12\cos x\right)=a$$

$$2\left(\sin\frac{\pi}{3}\sin x+\cos\frac{\pi}{3}\cos x\right)=a$$

$$2\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)=a$$

$$\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)=\frac{a}{2}$$

Для существования решений нужно, чтобы

$$-1\le \frac{a}{2}\le 1,$$

откуда

$$-2\le a\le 2.$$

Тогда

$$x-\frac{\pi}{3}=\pm \arccos\frac{a}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

то есть

$$x=\frac{\pi}{3}\pm \arccos\frac{a}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

б) Аналогично:

$$3\sin x+4\cos x=2a-1$$

$$5\left(\frac35\sin x+\frac45\cos x\right)=2a-1$$

$$5\left(\sin\varphi\sin x+\cos\varphi\cos x\right)=2a-1,$$

где $$\cos\varphi=\frac45,\quad \sin\varphi=\frac35,$$ то есть $$\varphi=\arccos\frac45.$$

Тогда

$$5\cos(x-\varphi)=2a-1,$$

$$\cos\left(x-\arccos\frac45\right)=\frac{2a-1}{5}.$$

Условие существования решений:

$$-1\le \frac{2a-1}{5}\le 1,$$

$$-5\le 2a-1\le 5,$$

$$-4\le 2a\le 6,$$

$$-2\le a\le 3.$$

Следовательно,

$$x-\arccos\frac45=\pm \arccos\frac{2a-1}{5}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

то есть

$$x=\arccos\frac45\pm \arccos\frac{2a-1}{5}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) Если $$-2\le a\le 2,$$ то $$x=\frac{\pi}{3}\pm \arccos\frac{a}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$ Если $$a<-2$$ или $$a>2,$$ корней нет.

б) Если $$-2\le a\le 3,$$ то $$x=\arccos\frac45\pm \arccos\frac{2a-1}{5}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$ Если $$a<-2$$ или $$a>3,$$ корней нет.