Упр.34.25 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.

а) $$y=ax^3+3ax^2+6x+7.$$

Найдём производную:

$$y’=3ax^2+6ax+6=3\bigl(ax^2+2ax+2\bigr).$$

Функция возрастает на всей числовой прямой тогда и только тогда, когда

$$y’\ge 0 \quad \text{при всех } x.$$

Так как множитель $$3>0,$$ достаточно рассмотреть неравенство

$$ax^2+2ax+2\ge 0 \quad \text{при всех } x.$$

Для этого квадратный трёхчлен должен быть неотрицателен при всех $$x,$$ значит, его дискриминант не должен быть положительным, а старший коэффициент — неотрицательным:

$$D=(2a)^2-4\cdot a\cdot 2=4a^2-8a=4a(a-2)\le 0,$$

$$a>0.$$

Отсюда

$$0\le a\le 2,\quad a>0.$$

Следовательно,

$$0<a\le 2.$$

б) $$y=2x^3-6a^2x+3.$$

Найдём производную:

$$y’=6x^2-6a^2=6(x-a)(x+a).$$

Функция имеет минимум в точке $$x=3,$$ значит, в этой точке производная обращается в нуль:

$$y'(3)=0.$$

Тогда

$$6\cdot 3^2-6a^2=0,$$

$$9-a^2=0,$$

$$a^2=9,$$

$$a=\pm 3.$$

При этих значениях действительно получаем минимум в точке $$x=3.$$

Ответ

а) $$a\in(0;2].$$
б) $$a\in\{-3;3\}.$$