Упр.34.24 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 34.24. Решите неравенство (относительно х): (а — 1)х2 + 2(2а + + 1)x + 4 а + 3 меньше или равно 0.

Рассмотрим неравенство

$$ (a-1)x^2+2(2a+1)x+4a+3\le 0. $$

Если $$a=1,$$ то получаем линейное неравенство:

$$2(2\cdot 1+1)x+4\cdot 1+3\le 0,$$

$$6x+7\le 0,$$

$$x\le -\frac{7}{6}.$$

Если $$a\ne 1,$$ то это квадратное неравенство. Найдём дискриминант:

$$D=[2(2a+1)]^2-4(a-1)(4a+3),$$

$$D=4(2a+1)^2-4(a-1)(4a+3),$$

$$D=4(4a^2+4a+1)-4(4a^2-a-3),$$

$$D=4(5a+4).$$

Тогда корни уравнения

$$ (a-1)x^2+2(2a+1)x+4a+3=0 $$

равны

$$x_{1,2}=\frac{-2(2a+1)\pm \sqrt{4(5a+4)}}{2(a-1)}=\frac{-(2a+1)\pm \sqrt{5a+4}}{a-1}.$$

То есть

$$x_1=\frac{-(2a+1)+\sqrt{5a+4}}{a-1},\qquad x_2=\frac{-(2a+1)-\sqrt{5a+4}}{a-1}.$$

Теперь рассмотрим случаи.

• Если $$D\le 0,$$ то есть $$5a+4\le 0,$$ значит $$a\le -\frac45,$$ то неравенство выполняется при любых $$x.$$
• Если $$-\frac45<a<1,$$ то $$a-1<0,$$ и парабола направлена вниз. Поэтому решение имеет вид $$x\le x_1,\; x\ge x_2.$$
• Если $$a>1,$$ то $$a-1>0,$$ и решение имеет вид $$x_2\le x\le x_1.$$

Ответ

$$ \begin{cases} a\le -\frac45, & x\in \mathbb R,\\[4pt] -\frac45<a<1, & x\le x_1 \text{ или } x\ge x_2,\\[4pt] a=1, & x\le -\frac76,\\[4pt] a>1, & x_2\le x\le x_1, \end{cases} $$

где

$$x_1=\frac{-(2a+1)+\sqrt{5a+4}}{a-1},\qquad x_2=\frac{-(2a+1)-\sqrt{5a+4}}{a-1}.$$