Упр.34.23 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.
Рассмотрим уравнение $$\left(a-2\right)x^2-2ax+a+3=0.$$
Если $$a=2,$$ то уравнение становится линейным:
$$-4x+5=0,\qquad x=\frac54.$$
Если $$a\ne 2,$$ то это квадратное уравнение. Его дискриминант:
$$ D=(-2a)^2-4\left(a-2\right)\left(a+3\right) =4a^2-4\left(a^2+a-6\right) =4\left(6-a\right). $$
Чтобы уравнение имело два различных корня, нужно:
$$D>0,\qquad a\ne 2,$$
то есть
$$a<6,\qquad a\ne 2.$$
а) Корни положительные.
По теореме Виета:
$$x_1x_2=\frac{a+3}{a-2},\qquad x_1+x_2=\frac{2a}{a-2}.$$
Для положительности обоих корней нужно:
$$x_1x_2>0,\qquad x_1+x_2>0.$$
Решая систему неравенств, получаем:
$$a\in(-\infty;-3)\cup(2;6).$$
б) Корни меньше числа 3.
Корни равны
$$x_{1,2}=\frac{2a\pm\sqrt{4\left(6-a\right)}}{2\left(a-2\right)}=\frac{a\pm\sqrt{6-a}}{a-2}.$$
Рассмотрим случаи.
1) Если $$a<2,$$ то знаменатель отрицателен, и из условий $$x_1<3,\ x_2<3$$ получаем:
$$4a^2-23a+30>0.$$
Корни этого квадратного трёхчлена: $$a=2$$ и $$a=\frac{15}{4}.$$ Тогда
$$a\in(-\infty;2).$$
2) Если $$a>2,$$ то аналогично получаем то же неравенство
$$4a^2-23a+30>0,$$
откуда
$$a\in\left(\frac{15}{4};6\right).$$
Итак,
$$a\in(-\infty;2)\cup\left(\frac{15}{4};6\right).$$
в) Корни отрицательные.
Для отрицательности обоих корней нужно:
$$x_1x_2>0,\qquad x_1+x_2<0.$$
Но
$$x_1x_2=\frac{a+3}{a-2},\qquad x_1+x_2=\frac{2a}{a-2},$$
и совместно эти неравенства решений не дают.
Следовательно,
$$a\in\varnothing.$$
г) Корни принадлежат промежутку $$\left(1;3\right).$$
Для этого нужно, чтобы оба корня удовлетворяли условиям $$1<x<3.$$
После подстановки формулы корней и решения соответствующих неравенств получаем:
$$a\in\left(\frac{15}{4};6\right).$$
Ответ
а) $$a\in(-\infty;-3)\cup(2;6).$$
б) $$a\in(-\infty;2)\cup\left(\frac{15}{4};6\right).$$
в) $$a\in\varnothing.$$
г) $$a\in\left(\frac{15}{4};6\right).$$
