Упр.34.22 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 34.22. а) При каких значениях параметра а решением неравенства (х — а)2 (х — 3)(х + 1) меньше или равно 0 является сплошной промежуток? б) При каких значениях параметра а неравенство (x-2a-1)/(x-a) < 0 выполняется при всех значениях х из отрезка [1; 2]?

Подробный ответ

а) Рассмотрим неравенство $$ (x-a)^2(x-3)(x+1)\le 0. $$

Множитель $$ (x-a)^2 $$ неотрицателен при любых $$x$$ и обращается в ноль при $$x=a$$. Поэтому знак произведения определяется множителем $$ (x-3)(x+1). $$

Чтобы решением был сплошной промежуток, нужно, чтобы к отрезку $$[-1;3]$$ не добавлялась изолированная точка $$x=a$$ вне этого отрезка. Значит, должно выполняться

$$-1\le a\le 3.$$

Тогда множество решений неравенства — именно отрезок $$[-1;3].$$

б) Рассмотрим неравенство

$$\frac{x-2a-1}{x-a}<0.$$

Дробь отрицательна, когда числитель и знаменатель разных знаков. Решение неравенства — интервал между точками $$x=a$$ и $$x=2a+1,$$ то есть либо $$ (a;\,2a+1), $$ либо $$ (2a+1;\,a). $$

Чтобы неравенство выполнялось при всех $$x\in[1;2],$$ отрезок $$[1;2]$$ должен целиком лежать внутри этого интервала. Это возможно, если обе его границы лежат между концами интервала:

$$a<1,\qquad 2a+1>2$$

или

$$a>2,\qquad 2a+1<1.$$

Вторая система решений не имеет. Из первой получаем

$$a<1,\qquad a>\frac12.$$

Следовательно,

$$\frac12<a<1.$$