Упр.34.20 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

а) Рассмотрим неравенство

$$\left(x^3-8\right)(a-x)\ge 0.$$

Разложим разность кубов:

$$x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4).$$

Так как $$x^2+2x+4>0$$ при любых $$x$$, то знак произведения определяется только множителями $$x-2$$ и $$a-x$$. Получаем равносильное неравенство

$$\left(x-2\right)\left(a-x\right)\ge 0,$$

или

$$\left(x-2\right)\left(x-a\right)\le 0.$$

Чтобы неравенство имело единственное решение, отрезок между корнями должен выродиться в точку, то есть

$$a=2.$$

Тогда решение одно: $$x=2$$.

б) Рассмотрим неравенство

$$\left(x-1\right)\left(a-x\right)\ge 0.$$

Перепишем его в виде

$$\left(x-1\right)\left(x-a\right)\le 0.$$

Если $$a>1$$, то решения образуют отрезок $$[1;a]$$, и число целых решений равно числу целых чисел на этом отрезке. Нужно, чтобы их было ровно пять:

$$1,2,3,4,5.$$

Это возможно при

$$5\le a<6.$$

Если $$a<1$$, то решения образуют отрезок $$[a;1]$$. Чтобы целых решений было ровно пять, нужно

$$-4<a\le -3,$$

тогда целые решения: $$-4,-3,-2,-1,0.$$

Итак,

$$a\in(-4;-3]\cup[5;6).$$

Ответ

а) $$a=2$$;

б) $$a\in(-4;-3]\cup[5;6).$$