Упр.34.19 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

Рассмотрим неравенство

$$ax^2+2ax+2x+2a+2\le 0.$$

Сгруппируем слагаемые:

$$ax^2+2(a+1)x+2(a+1)\le 0.$$

Это квадратное неравенство относительно $$x$$. Его дискриминант равен

$$D=4(a+1)^2-4a\cdot 2(a+1).$$

Упростим:

$$D=4(a^2+2a+1)-8a^2-8a=4-4a^2=4(1-a^2).$$

а) Неравенство выполняется при любых $$x$$, если парабола направлена вниз и не имеет действительных корней, то есть

$$a<0,$$

$$D\le 0.$$

Из условия $$D\le 0$$ получаем

$$4-4a^2\le 0,$$

$$1-a^2\le 0,$$

$$a^2\ge 1,$$

$$a\le -1 \text{ или } a\ge 1.$$

С учётом $$a<0$$ остаётся

$$a\le -1.$$

б) Неравенство не имеет решений, если парабола направлена вверх и не пересекает ось $$x$$, то есть

$$a>0,$$

$$D<0.$$

Из $$D<0$$ имеем

$$4-4a^2<0,$$

$$a^2>1,$$

$$a<-1 \text{ или } a>1.$$

С учётом $$a>0$$ получаем

$$a>1.$$

Ответ

а) $$a\in(-\infty;-1]$$; б) $$a\in(1;+\infty)$$.