Упр.34.16 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.
а) $$y=(3a+1)x^2+2x-5$$
Абсцисса вершины параболы:
$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2(3a+1)}=-\frac{1}{3a+1}.$$
Ордината вершины:
$$ y_0=(3a+1)\left(-\frac{1}{3a+1}\right)^2+2\left(-\frac{1}{3a+1}\right)-5 =-\frac{15a+6}{3a+1}. $$
Чтобы вершина лежала внутри IV четверти, нужно:
$$ \begin{cases} x_0>0,\\ y_0<0. \end{cases} $$
Тогда
$$ \begin{cases} -\dfrac{1}{3a+1}>0,\\ -\dfrac{15a+6}{3a+1}<0. \end{cases} $$
Из первого неравенства получаем $$3a+1<0,$$ то есть $$a<-\frac13.$$
При $$3a+1<0$$ второе неравенство равносильно $$15a+6<0,$$ то есть $$a<-\frac25.$$
Совмещая условия, получаем:
$$a<-\frac25.$$
б) $$y=3x^2+(4a-1)x+3$$
Абсцисса вершины параболы:
$$x_0=-\frac{4a-1}{2\cdot 3}=\frac{1-4a}{6}.$$
Ордината вершины:
$$ y_0=3\left(\frac{1-4a}{6}\right)^2+(4a-1)\left(\frac{1-4a}{6}\right)+3 =\frac{35+8a-16a^2}{12}. $$
Чтобы вершина лежала внутри I четверти, нужно:
$$ \begin{cases} x_0>0,\\ y_0>0. \end{cases} $$
То есть
$$ \begin{cases} \dfrac{1-4a}{6}>0,\\ \dfrac{35+8a-16a^2}{12}>0. \end{cases} $$
Из первого неравенства:
$$a<\frac14.$$
Из второго:
$$ 35+8a-16a^2>0 \iff 16a^2-8a-35<0. $$
Найдём корни квадратного трёхчлена:
$$ D=(-8)^2-4\cdot 16\cdot(-35)=64+2240=2304, $$
$$ a_{1,2}=\frac{8\pm 48}{32}. $$Отсюда
$$a_1=-\frac54,\qquad a_2=\frac74.$$
Так как ветви параболы направлены вверх, то
$$16a^2-8a-35<0 \iff -\frac54<a<\frac74.$$
Пересекаем с условием $$a<\frac14$$:
$$-\frac54<a<\frac14.$$
Ответ
а) $$a<-\frac25$$; б) $$-\frac54<a<\frac14$$.
