Упр.34.12 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

а) Рассмотрим уравнение

$$\frac{x^2-(a-1)x-2a(a+1)}{x-3}=0.$$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

$$x^2-(a-1)x-2a(a+1)=0,\qquad x\ne 3.$$

Найдём корни квадратного уравнения:

$$D=(a-1)^2+8a(a+1)=a^2-2a+1+8a^2+8a=9a^2+6a+1=(3a+1)^2.$$

Тогда

$$x_{1,2}=\frac{(a-1)\pm(3a+1)}{2}.$$

Получаем:

$$x_1=\frac{(a-1)-(3a+1)}{2}=-a-1,\qquad x_2=\frac{(a-1)+(3a+1)}{2}=2a.$$

Проверим, когда корни не нарушают ОДЗ:

$$-a-1=3 \Rightarrow a=-4,$$

$$2a=3 \Rightarrow a=\frac32.$$

Если $$a=-\frac13,$$ то $$D=0$$ и единственный корень

$$x=\frac{a-1}{2}=-\frac23.$$

Итак, при $$a\ne -\frac13,-4,\frac32$$ уравнение имеет два корня $$x_1=2a,\ x_2=-a-1$$; при специальных значениях параметра остаются только допустимые корни.

б) Рассмотрим уравнение

$$\frac{x}{a(x+1)}-\frac{2}{x+2}=\frac{3-a^2}{a(x+1)(x+2)}.$$

ОДЗ:

$$a\ne 0,\qquad x\ne -1,\qquad x\ne -2.$$

Умножим обе части на $$a(x+1)(x+2)$$:

$$x(x+2)-2a(x+1)=3-a^2.$$

Раскроем скобки и приведём подобные:

$$x^2+2x-2ax-2a=3-a^2,$$

$$x^2-2(a-1)x+(a^2-2a-3)=0.$$

Дискриминант:

$$D=4(a-1)^2-4(a^2-2a-3)=16.$$

Тогда

$$x_{1,2}=\frac{2(a-1)\pm 4}{2}.$$

Получаем:

$$x_1=a-3,\qquad x_2=a+1.$$

Проверим допустимость корней:

$$a-3=-1 \Rightarrow a=2,\qquad a-3=-2 \Rightarrow a=1,$$

$$a+1=-1 \Rightarrow a=-2,\qquad a+1=-2 \Rightarrow a=-3.$$

При этих значениях один из корней не подходит, поэтому:

$$a=-3 \Rightarrow x=-6,$$

$$a=-2 \Rightarrow x=-5,$$

$$a=0 \Rightarrow \text{корней нет},$$

$$a=1 \Rightarrow x=2,$$

$$a=2 \Rightarrow x=3.$$

При остальных значениях параметра $$x_1=a+1,\ x_2=a-3.$$

Ответ

а) Если $$a=-\frac13,$$ то $$x=-\frac23$$; если $$a=\frac32,$$ то $$x=-\frac52$$; если $$a=-4,$$ то $$x=-8$$; при остальных $$a$$: $$x_1=2a,\ x_2=-a-1.$$

б) Если $$a=-3,$$ то $$x=-6$$; если $$a=-2,$$ то $$x=-5$$; если $$a=0,$$ то корней нет; если $$a=1,$$ то $$x=2$$; если $$a=2,$$ то $$x=3$$; при остальных $$a$$: $$x_1=a+1,\ x_2=a-3.$$