Упр.33.7 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: Решите графически систему уравнений: 33.9 а)система y+x=3, xy=2; б)система y=x(x-4), y+8=2x.

Подробный ответ

а) Из первого уравнения выразим $$y$$:
$$y=3-x.$$
Из второго уравнения:
$$xy=2 \;\Rightarrow\; y=\frac{2}{x}, \quad x\ne 0.$$
Точки пересечения графиков найдём из уравнения
$$3-x=\frac{2}{x}.$$
Умножим на $$x$$:
$$3x-x^2=2$$
$$x^2-3x+2=0$$
$$\left(x-1\right)\left(x-2\right)=0.$$
Отсюда $$x=1$$ или $$x=2$$.
Тогда
$$y=3-1=2,$$
$$y=3-2=1.$$
Получаем точки пересечения: $$\left(1;2\right)$$ и $$\left(2;1\right).$$
б) Преобразуем систему:
$$y=x(x-4),$$
$$y+8=2x \;\Rightarrow\; y=2x-8.$$
Приравняем правые части:
$$x(x-4)=2x-8.$$
$$x^2-4x=2x-8$$
$$x^2-6x+8=0$$
$$\left(x-2\right)\left(x-4\right)=0.$$
Отсюда $$x=2$$ или $$x=4$$.
Найдём соответствующие значения $$y$$:
при $$x=2$$: $$y=2\cdot 2-8=-4$$;
при $$x=4$$: $$y=2\cdot 4-8=0.$$
Точки пересечения графиков: $$\left(2;-4\right)$$ и $$\left(4;0\right).$$