Упр.33.5 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 33.5. Решите систему уравнений методом введения новых переменных: а)система 5/(3x-y) + 3/(x-3y) = -2, 15/(3x-y) + 2/(x-3y) = 1; б)система 3/(x+y) + 6/(x-y) = -1, 5/(x+y) + 9/(x-y) = -2.

Подробный ответ

а) Введём новые переменные:
$$u=\frac{1}{3x-y}, \quad t=\frac{1}{x-3y}.$$
Тогда система примет вид:
$$ \begin{cases} 5u+3t=-2,\\ 15u+2t=1. \end{cases} $$
Умножим первое уравнение на $$3$$:
$$ \begin{cases} 15u+9t=-6,\\ 15u+2t=1. \end{cases} $$
Вычтем второе уравнение из первого:
$$7t=-7,\quad t=-1.$$
Подставим в первое уравнение:
$$5u+3\cdot(-1)=-2,\quad 5u=1,\quad u=\frac15.$$
Возвращаемся к исходным переменным:
$$ \begin{cases} \frac{1}{3x-y}=\frac15,\\ \frac{1}{x-3y}=-1. \end{cases} $$
Отсюда:
$$ \begin{cases} 3x-y=5,\\ x-3y=-1. \end{cases} $$
Из первого уравнения $$y=3x-5$$. Подставим во второе:
$$x-3(3x-5)=-1,$$
$$x-9x+15=-1,$$
$$-8x=-16,\quad x=2.$$
Тогда
$$y=3\cdot2-5=1.$$
б) Введём новые переменные:
$$u=\frac{1}{x+y}, \quad t=\frac{1}{x-y}.$$
Тогда система примет вид:
$$ \begin{cases} 3u+6t=-1,\\ 5u+9t=-2. \end{cases} $$
Умножим первое уравнение на $$5$$, второе — на $$3$$:
$$ \begin{cases} 15u+30t=-5,\\ 15u+27t=-6. \end{cases} $$
Вычтем второе уравнение из первого:
$$3t=1,\quad t=\frac13.$$
Подставим в первое уравнение:
$$3u+6\cdot\frac13=-1,$$
$$3u+2=-1,\quad 3u=-3,\quad u=-1.$$
Возвращаемся к исходным переменным:
$$ \begin{cases} \frac{1}{x+y}=-1,\\ \frac{1}{x-y}=\frac13. \end{cases} $$
Отсюда:
$$ \begin{cases} x+y=-1,\\ x-y=3. \end{cases} $$
Сложим уравнения:
$$2x=2,\quad x=1.$$
Тогда
$$y=1-3=-2.$$