Упр.33.45 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 33.46. Три целых числа образуют конечную возрастающую геометрическую прогрессию. Если второе число увеличить на 6, то получится конечная арифметическая прогрессия. Если в этой арифметической прогрессии первое и третье числа увеличить на 5, а второе — на 1, то получится геометрическая прогрессия. Найдите три исходных числа.
Обозначим три числа через $$x,\ y,\ z.$$
Так как они образуют возрастающую геометрическую прогрессию, то
$$y^2=xz.$$
Если второе число увеличить на $6$, то получим арифметическую прогрессию:
$$2(y+6)=x+z.$$
Если в этой арифметической прогрессии первое и третье числа увеличить на $5$, а второе — на $1$, то снова получится геометрическая прогрессия:
$$\bigl(y+6+1\bigr)^2=(x+5)(z+5),$$
то есть
$$ (y+7)^2=(x+5)(z+5). $$
Получаем систему:
$$ \begin{cases} y^2=xz,\\ 2(y+6)=x+z,\\ (y+7)^2=(x+5)(z+5). \end{cases} $$
Из второго уравнения выразим сумму:
$$x+z=2y+12.$$
Раскроем скобки в третьем уравнении:
$$ y^2+14y+49=xz+5x+5z+25. $$
Подставим $$xz=y^2$$ и $$x+z=2y+12$$:
$$ y^2+14y+49=y^2+5(2y+12)+25. $$
$$ 14y+49=10y+85, $$
$$ 4y=36,\qquad y=9. $$
Тогда
$$x+z=2\cdot 9+12=30,$$
а из $$xz=y^2$$ получаем
$$xz=81.$$
Следовательно, $$x$$ и $$z$$ — корни уравнения
$$ t^2-30t+81=0. $$
$$ D=30^2-4\cdot 81=900-324=576, $$
$$ t_{1,2}=\frac{30\pm 24}{2}. $$
Отсюда $$t_1=3,\ t_2=27.$$
Так как прогрессия возрастающая, то
$$x=3,\ y=9,\ z=27.$$
Ответ
$$3;\ 9;\ 27.$$
