Упр.33.43 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

Пусть $$b_1$$ — первый член геометрической прогрессии, $$q$$ — её знаменатель.

По формуле суммы бесконечной геометрической прогрессии имеем:

$$S=\frac{b_1}{1-q}=4,$$

откуда

$$b_1=4(1-q).$$

Сумма кубов членов прогрессии равна:

$$b_1^3+b_2^3+b_3^3+\dots=192.$$

Так как $$b_n=b_1q^{n-1}$$, то

$$b_1^3(1+q^3+q^6+\dots)=192.$$

Это бесконечная геометрическая прогрессия с знаменателем $$q^3$$, поэтому

$$1+q^3+q^6+\dots=\frac{1}{1-q^3}.$$

Тогда

$$\frac{b_1^3}{1-q^3}=192.$$

Подставим $$b_1=4(1-q)$$:

$$\frac{64(1-q)^3}{1-q^3}=192.$$

Так как $$1-q^3=(1-q)(1+q+q^2)$$, получаем

$$64\cdot \frac{(1-q)^2}{1+q+q^2}=192.$$

Сократим на $$64$$:

$$\frac{(1-q)^2}{1+q+q^2}=3.$$

Тогда

$$ (1-q)^2=3(1+q+q^2). $$

Раскроем скобки:

$$1-2q+q^2=3+3q+3q^2,$$

$$2q^2+5q+2=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=5^2-4\cdot 2\cdot 2=25-16=9,$$

$$q=\frac{-5\pm 3}{4}.$$

Получаем:

$$q_1=-2,\qquad q_2=-\frac12.$$

Так как дана убывающая прогрессия и сумма бесконечной геометрической прогрессии существует, должно быть $$|q|<1$$. Значит, подходит только

$$q=-\frac12.$$

Тогда

$$b_1=4\left(1-\left(-\frac12\right)\right)=4\cdot \frac32=6.$$

Ответ

$$b_1=6,\quad q=-\frac12.$$