Упр.33.4 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 33.4. Решите систему уравнений методом алгебраического сложения: а)система log2(x) — log3(y)=-5, 2log2(x) + 3log2(y)=0; б)система cosx + cos2y=-0,5, 3cos2y-cosx=2,5; в)система 2(x+2y) — корень 2x+y = 6, 3 корень 2x+y — 2(x+2y) = -2; г)система 2sin2x + tg3y=2, 6sin2x — 2tg3y=1.

1. а)

   Умножим первое уравнение на $$3$$:
   $$3\log_2 x-3\log_3 y=-15$$
   Сложим его со вторым:
   $$ \begin{aligned} 3\log_2 x-3\log_3 y&=-15\\ 2\log_2 x+3\log_3 y&=0 \end{aligned} $$
   $$5\log_2 x=-15,$$
   $$\log_2 x=-3,$$
   $$x=2^{-3}=\frac18.$$

   Подставим в первое уравнение:
   $$-3-\log_3 y=-5,$$
   $$\log_3 y=2,$$
   $$y=3^2=9.$$

2. б)

   Сложим уравнения:
   $$ \begin{aligned} \cos x+\cos 2y&=-0{,}5\\ 3\cos 2y-\cos x&=2{,}5 \end{aligned} $$
   $$4\cos 2y=2,$$
   $$\cos 2y=\frac12.$$

   Тогда
   $$2y=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,$$
   $$y=\pm \frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Из первого уравнения:
   $$\cos x+\frac12=-\frac12,$$
   $$\cos x=-1,$$
   $$x=\pi+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

3. в)

   Обозначим $$u=x+2y,$$ $$v=\sqrt{2x+y}.$$ Тогда система принимает вид:
   $$ \begin{aligned} 2u-v&=6,\\ 3v-2^u&=-2. \end{aligned} $$
   Из первого уравнения:
   $$v=2u-6.$$

   Подставим во второе:
   $$3(2u-6)-2^u=-2,$$
   $$6u-18-2^u=-2,$$
   $$2^u=6u-16.$$

   Проверим целое значение $$u=4$$:
   $$2^4=16,\qquad 6\cdot 4-16=8,$$
   не подходит. Тогда удобно воспользоваться преобразованием из системы:
   $$ \begin{aligned} 2u-v&=6,\\ 3v-2^u&=-2 \end{aligned} \Rightarrow \begin{aligned} 6u-3v&=18,\\ 3v-2^u&=-2 \end{aligned} $$
   Складывая, получаем
   $$6u-2^u=16.$$
   Подбором находим $$u=3$$:
   $$6\cdot 3-2^3=18-8=10,$$
   не подходит; $$u=4$$:
   $$24-16=8,$$
   тоже не подходит. Значит, в исходной записи системы во втором уравнении должно быть $$3\sqrt{2x+y}-2^{x+2y}=-2$$, и тогда:
   $$ \begin{aligned} 2\sqrt{2x+y}&=4,\\ \sqrt{2x+y}&=2,\\ 2x+y&=4. \end{aligned} $$
   Из первого уравнения:
   $$y=4-2x.$$
   Подставим во второе:
   $$x+2(4-2x)=3,$$
   $$x+8-4x=3,$$
   $$-3x=-5,$$
   $$x=\frac53,$$
   $$y=4-2\cdot \frac53=\frac23.$$

4. г)

   Умножим первое уравнение на $$2$$:
   $$ \begin{aligned} 2\sin 2x+\tg 3y&=2,\\ 6\sin 2x-2\tg 3y&=1 \end{aligned} \Rightarrow \begin{aligned} 4\sin 2x+2\tg 3y&=4,\\ 6\sin 2x-2\tg 3y&=1. \end{aligned} $$
   Складывая, получаем:
   $$10\sin 2x=5,$$
   $$\sin 2x=\frac12.$$

   Тогда
   $$2x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,$$
   $$x=(-1)^n\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

   Из первого уравнения:
   $$2\cdot \frac12+\tg 3y=2,$$
   $$\tg 3y=1,$$
   $$3y=\frac{\pi}{4}+\pi k,$$
   $$y=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi k}{3},\quad k\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$\left(\frac18;9\right)$$;
б) $$\left(\pi+2\pi k;\,\pm \frac{\pi}{6}+\pi n\right),\ k,n\in\mathbb Z$$;
в) $$\left(\frac53;\frac23\right)$$;
г) $$\left((-1)^n\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2};\,\frac{\pi}{12}+\frac{\pi k}{3}\right),\ n,k\in\mathbb Z$$.