Упр.33.38 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 33.40 а)система sinxsiny=-1/2, tgxctgy=1; б)система cosycosx=1/4, tgy=ctgx.

Рассмотрим систему

$$ \begin{cases} \sin x \sin y=-\dfrac12,\\ \tg x \ctg y=1. \end{cases} $$

Из второго уравнения:

$$ \tg x \ctg y=1 \;\Rightarrow\; \frac{\sin x}{\cos x}\cdot \frac{\cos y}{\sin y}=1 $$

$$ \sin x \cos y=\cos x \sin y $$

$$ \sin(x-y)=0 $$

$$ x-y=2\pi n \quad \text{или} \quad x-y=\pi+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z. $$

Из первого уравнения:

$$ \sin x \sin y=-\dfrac12 $$

Используем формулу

$$ \cos(x-y)-\cos(x+y)=2\sin x\sin y. $$

Тогда

$$ \cos(x-y)-\cos(x+y)=-1. $$

Рассмотрим два случая.

1) Если $$x-y=2\pi n,$$ то

$$ \cos(x+y)-1=1, $$

откуда

$$ \cos(x+y)=2, $$

что невозможно. Значит, этот случай решений не даёт.

2) Если $$x-y=\pi+2\pi n,$$ то

$$ \cos(x+y)+1=1, $$

следовательно,

$$ \cos(x+y)=0. $$

Тогда

$$ x+y=\frac{\pi}{2}+\pi k,\qquad k\in\mathbb Z. $$

Получаем систему

$$ \begin{cases} x-y=\pi+2\pi n,\\ x+y=\dfrac{\pi}{2}+\pi k. \end{cases} $$

Складывая и вычитая уравнения, находим:

$$ 2x=\frac{3\pi}{2}+\pi(k+2n), $$

$$ x=\frac{3\pi}{4}+\frac{\pi}{2}(k+2n), $$

$$ 2y=-\frac{\pi}{2}+\pi(k-2n), $$

$$ y=-\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2}(k-2n). $$

Ответ

$$ \left(\frac{3\pi}{4}+\frac{\pi}{2}(k+2n)\,;\,-\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2}(k-2n)\right),\qquad k,n\in\mathbb Z. $$