Упр.33.37 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

а) Обозначим $$u=\sin x,$$ $$t=\cos y.$$ Тогда система принимает вид

$$ \begin{cases} u+t=0,\\ u^2+t^2=\dfrac12. \end{cases} $$

Из первого уравнения $$u=-t.$$ Подставим во второе:

$$ (-t)^2+t^2=\dfrac12 $$

$$ 2t^2=\dfrac12,\qquad t^2=\dfrac14,\qquad t=\pm \dfrac12. $$

Тогда $$u=-t=\mp \dfrac12.$$ Получаем два случая.

1) $$\sin x=\dfrac12,\quad \cos y=-\dfrac12.$$

Тогда

$$ x=(-1)^n\dfrac{\pi}{6}+\pi n,\qquad y=\pm \dfrac{2\pi}{3}+2\pi k. $$

2) $$\sin x=-\dfrac12,\quad \cos y=\dfrac12.$$

Тогда

$$ x=(-1)^{n+1}\dfrac{\pi}{6}+\pi n,\qquad y=\pm \dfrac{\pi}{3}+2\pi k. $$

б) Преобразуем второе уравнение:

$$ \sin^2 x+\sin^2 y=\dfrac74 $$

$$ (1-\cos^2 x)+(1-\cos^2 y)=\dfrac74 $$

$$ \cos^2 x+\cos^2 y=\dfrac14. $$

Обозначим $$u=\cos x,$$ $$t=\cos y.$$ Тогда

$$ \begin{cases} u+t=\dfrac12,\\ u^2+t^2=\dfrac14. \end{cases} $$

Из первого уравнения $$u=\dfrac12-t.$$ Подставим во второе:

$$ \left(\dfrac12-t\right)^2+t^2=\dfrac14 $$

$$ \dfrac14-t+t^2+t^2=\dfrac14 $$

$$ 2t^2-t=0 $$

$$ t(2t-1)=0. $$

Отсюда $$t=0$$ или $$t=\dfrac12.$$ Тогда соответственно:

1) $$\cos y=0,\quad \cos x=\dfrac12,$$

2) $$\cos y=\dfrac12,\quad \cos x=0.$$

Следовательно,

$$ x=\pm \dfrac{\pi}{3}+2\pi n,\qquad y=\dfrac{\pi}{2}+\pi k; $$

или

$$ x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n,\qquad y=\pm \dfrac{\pi}{3}+2\pi k. $$

Ответ

а) $$\left((-1)^{n+1}\dfrac{\pi}{6}+\pi n;\ \pm \dfrac{\pi}{3}+2\pi k\right),\ \left((-1)^n\dfrac{\pi}{6}+\pi n;\ \pm \dfrac{2\pi}{3}+2\pi k\right),\ n,k\in\mathbb Z.$$

б) $$\left(\pm \dfrac{\pi}{3}+2\pi n;\ \dfrac{\pi}{2}+\pi k\right),\ \left(\dfrac{\pi}{2}+\pi n;\ \pm \dfrac{\pi}{3}+2\pi k\right),\ n,k\in\mathbb Z.$$