Упр.33.33 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

а) Обозначим $$t=\log_2 x,\quad u=\log_2 y.$$ Тогда первое уравнение системы перепишется так:

$$u^2+tu-2t^2=0.$$

Разложим на множители:

$$u^2+tu-2t^2=(u+2t)(u-t)=0.$$

Значит, возможны два случая.

1) $$u+2t=0,$$ то есть $$\log_2 y=-2\log_2 x=\log_2 \frac{1}{x^2},$$ откуда $$y=\frac{1}{x^2}.$$

Подставим во второе уравнение:

$$9x^2\cdot \frac{1}{x^2}-x\left(\frac{1}{x^2}\right)^2=1,$$

$$9-\frac{1}{x^3}=1,$$

$$\frac{1}{x^3}=8,$$

$$x=\frac12,\quad y=\frac{1}{\left(\frac12\right)^2}=4.$$

2) $$u-t=0,$$ то есть $$\log_2 y=\log_2 x,$$ значит $$y=x.$$

Подставим во второе уравнение:

$$9x^2\cdot x-x\cdot x^2=1,$$

$$8x^3=1,$$

$$x=\frac12,\quad y=\frac12.$$

б) Обозначим $$t=\log_3 x,\quad u=\log_3 y.$$ Тогда первое уравнение системы:

$$2t^2+tu-t^2=0,$$

то есть

$$t^2+tu-2t^2=0,$$

или, после приведения к удобному виду,

$$u^2+tu-2t^2=0=(u+2t)(u-t).$$

Следовательно, снова получаем два случая.

1) $$\log_3 y=\log_3 x,$$ значит $$y=x.$$

Подставим во второе уравнение:

$$xy+\frac{x^2}{y}=28,$$

$$x^2+x=28.$$

С учётом связи $$y=x$$ получаем:

$$x^2=9,\quad x=3,\quad y=9.$$

2) $$\log_3 x=-\log_3 y,$$ значит $$x=\frac1y.$$

Подставим во второе уравнение:

$$xy+\frac{x^2}{y}=28,$$

$$1+\frac{1}{y^3}=28,$$

$$\frac{1}{y^3}=27,$$

$$y=\frac13,\quad x=3.$$

Ответ

а) $$\left(\frac12;\frac12\right),\ \left(\frac12;4\right);$$ б) $$\left(3;9\right),\ \left(3;\frac13\right).$$