Упр.33.36 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

Подробный ответ

а) Из второго уравнения выразим $$y$$:
$$y=\frac{\pi}{3}-x.$$
Подставим в первое уравнение:
$$\sin x\cdot \sin\left(\frac{\pi}{3}-x\right)=\frac14.$$
Используем формулу произведения синусов:
$$\sin A\sin B=\frac12\bigl(\cos(A-B)-\cos(A+B)\bigr).$$
Тогда
$$\sin x\cdot \sin\left(\frac{\pi}{3}-x\right)=\frac12\left(\cos\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)-\cos\frac{\pi}{3}\right).$$
Получаем:
$$\frac12\left(\cos\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)-\frac12\right)=\frac14,$$
$$\cos\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)=1.$$
Значит,
$$2x-\frac{\pi}{3}=2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$
$$x=\frac{\pi}{6}+\pi n.$$
Тогда
$$y=\frac{\pi}{3}-x=\frac{\pi}{6}-\pi n.$$
б) Из первого уравнения выразим $$y$$:
$$y=\frac{\pi}{4}-x.$$
Подставим во второе уравнение:
$$\sin^2 x+\cos^2\left(\frac{\pi}{4}-x\right)=\frac12.$$
Раскроем квадрат косинуса суммы:
$$\cos\left(\frac{\pi}{4}-x\right)=\cos\frac{\pi}{4}\cos x+\sin\frac{\pi}{4}\sin x=\frac{\sqrt2}{2}(\cos x+\sin x).$$
Тогда
$$\sin^2 x+\frac12(\cos x+\sin x)^2=\frac12.$$
Раскроем скобки:
$$\sin^2 x+\frac12(\cos^2 x+2\sin x\cos x+\sin^2 x)=\frac12,$$
$$2\sin^2 x+1+2\sin x\cos x=1,$$
$$2\sin x(\sin x+\cos x)=0.$$
Отсюда:
$$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \sin x+\cos x=0.$$
1) Если $$\sin x=0,$$ то
$$x=\pi n,\quad y=\frac{\pi}{4}-\pi n.$$
2) Если $$\sin x+\cos x=0,$$ то
$$\tan x=-1,$$
$$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad y=\frac{\pi}{2}-\pi n.$$