Упр.33.35 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.

1. а)

   $$\begin{cases} \tg^2 x+\sin y=2,\\ 3\sin y+\tg^2 x=0 \end{cases}$$

   Вычтем второе уравнение из первого:

   $$\tg^2 x+\sin y-(3\sin y+\tg^2 x)=2-0,$$
   $$-2\sin y=2,$$
   $$\sin y=-1.$$

   Тогда

   $$y=-\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Из первого уравнения:

   $$\tg^2 x-1=2,$$
   $$\tg^2 x=3,$$
   $$\tg x=\pm\sqrt3.$$

   Следовательно,

   $$x=\pm\frac{\pi}{3}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

   Получаем:
   $$\left(\pm\frac{\pi}{3}+\pi k;\,-\frac{\pi}{2}+\pi n\right),\quad k,n\in\mathbb Z.$$

2. б)

   $$\begin{cases} \cos(x+y)+\sin xy=1,\\ 2\sin xy+\cos(x+y)=-1 \end{cases}$$

   Вычтем первое уравнение из второго:

   $$\sin xy=-2.$$

   Но для любого действительного $xy$ выполняется $$-1\le \sin xy\le 1.$$

   Следовательно, действительных решений нет.

3. в)

   $$\begin{cases} y-1=\left(\frac13\right)^x,\\ \sin x=y \end{cases}$$

   Из первого уравнения:

   $$y=1+\left(\frac13\right)^x>1.$$

   Из второго уравнения:

   $$y=\sin x,\qquad -1\le \sin x\le 1.$$

   Получаем противоречие, значит, решений нет.

4. г)

   $$\begin{cases} 2\sin(x+y)-3\cos(x-y)=5,\\ 7\cos(x-y)+5\sin(x+y)=-2 \end{cases}$$

   Обозначим $$u=\sin(x+y),\quad t=\cos(x-y).$$ Тогда

   $$\begin{cases} 2u-3t=5,\\ 5u+7t=-2 \end{cases}$$

   Умножим первое уравнение на $5$, второе на $2$:

   $$\begin{cases} 10u-15t=25,\\ 10u+14t=-4 \end{cases}$$

   Вычтем второе уравнение из первого:

   $$-29t=29,$$
   $$t=-1.$$

   Тогда из первого уравнения:

   $$2u-3(-1)=5,$$
   $$2u=2,$$
   $$u=1.$$

   Возвращаемся к замене:

   $$\sin(x+y)=1,\qquad \cos(x-y)=-1.$$

   Отсюда

   $$x+y=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$
   $$x-y=\pi+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

   Складывая и вычитая, получаем:

   $$2x=\frac{3\pi}{2}+2\pi(n+k),$$
   $$x=\frac{3\pi}{4}+\pi(n+k),$$
   $$2y=-\frac{\pi}{2}+2\pi(n-k),$$
   $$y=-\frac{\pi}{4}+\pi(n-k).$$

   Значит,
   $$\left(\frac{3\pi}{4}+\pi(n+k);\,-\frac{\pi}{4}+\pi(n-k)\right),\quad k,n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$\left(\pm\frac{\pi}{3}+\pi k;\,-\frac{\pi}{2}+\pi n\right),\ k,n\in\mathbb Z;$$
б) корней нет; в) корней нет; г) $$\left(\frac{3\pi}{4}+\pi(n+k);\,-\frac{\pi}{4}+\pi(n-k)\right),\ k,n\in\mathbb Z.$$