Упр.33.34 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 33.37 а)система x2+lgx= y2+lgy, корень x-y + корень x + корень y = 4; б)система x+2(корень x) = y+2(корень y), x2+x+y2+y=12.

Рассмотрим функцию $$f(x)=x^2+\lg x.$$

Её производная:

$$f'(x)=2x+\frac{1}{x}=\frac{2x^2+1}{x}>0,\quad x>0.$$

Значит, функция $$f(x)$$ возрастает на своей области определения, поэтому из равенства

$$x^2+\lg x=y^2+\lg y$$

следует, что $$x=y.$$

Подставим это во второе уравнение системы:

$$\sqrt{x-y}+\sqrt{x}+\sqrt{y}=4$$

$$\sqrt{0}+\sqrt{x}+\sqrt{x}=4$$

$$2\sqrt{x}=4$$

$$\sqrt{x}=2$$

$$x=4.$$

Тогда $$y=4.$$

Ответ

$$\left(4;4\right)$$