Упр.33.32 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.

а) Обозначим $$t=\log_x y.$$ Тогда из первого уравнения получаем

$$t+\frac{1}{t}=\frac{5}{2}.$$

Умножим на $$2t$$:

$$2t^2-5t+2=0.$$

$$D=25-16=9,$$

$$t_1=\frac{5-3}{4}=\frac12,\qquad t_2=\frac{5+3}{4}=2.$$

1) Если $$\log_x y=\frac12,$$ то $$y=x^{1/2}=\sqrt{x}.$$ Подставим во второе уравнение:

$$4\sqrt{x}-3\sqrt{\sqrt{x}}=1.$$

Положим $$u=\sqrt[4]{x}.$$ Тогда $$\sqrt{x}=u^2,\ \sqrt{\sqrt{x}}=u,$$ и получаем

$$4u^2-3u-1=0.$$

$$D=9+16=25,$$

$$u_1=\frac{3-5}{8}=-\frac14 \notin \mathbb{R},\qquad u_2=\frac{3+5}{8}=1.$$

Значит, $$x=u^4=1,$$ но это не подходит, так как $$x\ne 1.$$

2) Если $$\log_x y=2,$$ то $$y=x^2.$$ Подставим во второе уравнение:

$$4\sqrt{x}-3\sqrt{x^2}=1.$$

С учётом $$x>0$$ имеем $$\sqrt{x^2}=x,$$ поэтому

$$4\sqrt{x}-3x=1.$$

Положим $$u=\sqrt{x}.$$ Тогда

$$4u-3u^2=1,$$

$$3u^2-4u+1=0.$$

$$D=16-12=4,$$

$$u_1=\frac{4-2}{6}=\frac13,\qquad u_2=\frac{4+2}{6}=1.$$

$$u=1$$ не подходит, так как тогда $$x=1.$$ Остаётся $$u=\frac13,$$ значит

$$x=u^2=\frac19,\qquad y=x^2=\frac1{81}.$$

б) Обозначим $$t=\log_y x.$$ Тогда из первого уравнения

$$t-\frac{2}{t}=1.$$

Умножим на $$t$$:

$$t^2-t-2=0.$$

$$D=1+8=9,$$

$$t_1=\frac{1-3}{2}=-1,\qquad t_2=\frac{1+3}{2}=2.$$

1) Если $$\log_y x=-1,$$ то $$x=y^{-1}=\frac1y.$$ Подставим во второе уравнение:

$$\left(\frac1y\right)^2+2y^2=3.$$

Умножим на $$y^2$$:

$$1+2y^4-3y^2=0.$$

Положим $$u=y^2.$$ Тогда

$$2u^2-3u+1=0,$$

$$D=9-8=1,$$

$$u_1=\frac{3-1}{4}=\frac12,\qquad u_2=\frac{3+1}{4}=1.$$

Отсюда $$y=\frac1{\sqrt2}$$ или $$y=1.$$ Значение $$y=1$$ не подходит, поэтому

$$y=\frac1{\sqrt2},\qquad x=\sqrt2.$$

2) Если $$\log_y x=2,$$ то $$x=y^2.$$ Подставим во второе уравнение:

$$y^4+2y^2=3.$$

Положим $$u=y^2.$$ Тогда

$$u^2+2u-3=0,$$

$$D=4+12=16,$$

$$u_1=-3,\qquad u_2=1.$$

Подходит только $$u=1,$$ но тогда $$y=1,$$ что запрещено. Значит, решений здесь нет.

Ответ

а) $$\left(\frac19;\frac1{81}\right)$$

б) $$\left(\sqrt2;\frac1{\sqrt2}\right)$$