Упр.33.31 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.

а) Рассмотрим систему

$$ \begin{cases} \log_{13}(x^2+y^2)=0{,}5\log_{\pi}\pi^2,\\ \log_3 x-1=\log_3 2-\log_3 y. \end{cases} $$

Область определения: $$x>0,\ y>0.$$

Из второго уравнения:

$$ \log_3 x-\log_3 3=\log_3 2-\log_3 y, $$
$$ \log_3\frac{x}{3}=\log_3\frac{2}{y}, $$
$$ \frac{x}{3}=\frac{2}{y}, $$
$$ xy=6. $$

Из первого уравнения:

$$ 0{,}5\log_{\pi}\pi^2=0{,}5\cdot 2=1, $$
$$ \log_{13}(x^2+y^2)=1, $$
$$ x^2+y^2=13. $$

Подставим $$y=\frac{6}{x}$$:

$$ x^2+\left(\frac{6}{x}\right)^2=13, $$
$$ x^4+36=13x^2, $$
$$ x^4-13x^2+36=0. $$

Положим $$t=x^2$$. Тогда

$$ t^2-13t+36=0, $$
$$ (t-4)(t-9)=0. $$

Отсюда $$x^2=4$$ или $$x^2=9$$. С учётом $$x>0$$ получаем $$x=2$$ или $$x=3$$.

Тогда

$$ y=\frac{6}{x} \Rightarrow y=3 \text{ или } y=2. $$

Получаем пары решений: $$ (2;3) $$ и $$ (3;2) $$.

б) Рассмотрим систему

$$ \begin{cases} \log_7(x+y)=4\log_7(x-y),\\ \log_7(x+y)=5\log_7 3-\log_7(x-y). \end{cases} $$

Из равенства правых частей:

$$ 4\log_7(x-y)=5\log_7 3-\log_7(x-y), $$
$$ 5\log_7(x-y)=5\log_7 3, $$
$$ \log_7(x-y)=\log_7 3, $$
$$ x-y=3. $$

Тогда $$y=x-3$$. Подставим в первое уравнение:

$$ \log_7(x+(x-3))=4\log_7 3, $$
$$ \log_7(2x-3)=\log_7 3^4, $$
$$ 2x-3=81, $$
$$ 2x=84, $$
$$ x=42,\quad y=39. $$

Ответ

а) $$ (2;3),\ (3;2) $$; б) $$ (42;39) $$.