Упр.33.30 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

а) Обозначим $$6^x=t,\quad t>0.$$ Тогда система примет вид

$$ \begin{cases} t^2+ty=12,\\ y^2+yt=-8. \end{cases} $$

Из первого уравнения

$$ty=12-t^2,\qquad y=\frac{12-t^2}{t}.$$

Подставим во второе уравнение:

$$ \left(\frac{12-t^2}{t}\right)^2+\frac{12-t^2}{t}\cdot t=-8. $$

Умножим на $$t^2$$:

$$ (12-t^2)^2+t^2(12-t^2)=-8t^2. $$

$$ 144-24t^2+t^4+12t^2-t^4=-8t^2 $$

$$ 144-12t^2=-8t^2 $$

$$ 144=4t^2,\qquad t^2=36,\qquad t=6. $$

Тогда

$$6^x=6 \Rightarrow x=1,$$

$$ y=\frac{12-6^2}{6}=\frac{12-36}{6}=-4. $$

Проверка:

$$ 6^{2\cdot 1}+6^1\cdot(-4)=36-24=12, $$

$$ (-4)^2+(-4)\cdot 6=16-24=-8. $$

б) Обозначим $$7^y=t,\quad t>0.$$ Тогда

$$ \begin{cases} t^2-tx=28,\\ x^2-xt=-12. \end{cases} $$

Из первого уравнения

$$tx=t^2-28,\qquad x=\frac{t^2-28}{t}.$$

Подставим во второе:

$$ \left(\frac{t^2-28}{t}\right)^2-\frac{t^2-28}{t}\cdot t=-12. $$

Умножим на $$t^2$$:

$$ (t^2-28)^2-t^2(t^2-28)=-12t^2. $$

$$ t^4-56t^2+784-t^4+28t^2=-12t^2 $$

$$ -16t^2=-784,\qquad t^2=49,\qquad t=7. $$

Тогда

$$7^y=7 \Rightarrow y=1,$$

$$ x=\frac{7^2-28}{7}=\frac{49-28}{7}=3. $$

Проверка:

$$ 7^{2\cdot 1}-7^1\cdot 3=49-21=28, $$

$$ 3^2-3\cdot 7=-12. $$

Ответ

а) $$\left(1;\,-4\right)$$; б) $$\left(3;\,1\right)$$.