Упр.33.29 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

а)

$$ \begin{cases} 2^x \cdot 0{,}25^{-y}=512,\\ \sqrt{x}+2\sqrt{y}=5. \end{cases} $$

$$ 0{,}25^{-y}=\left(\frac14\right)^{-y}=4^y=2^{2y}, $$
поэтому
$$ 2^x\cdot 2^{2y}=2^9 \Rightarrow x+2y=9 \Rightarrow x=9-2y. $$

Подставим во второе уравнение:

$$ \sqrt{9-2y}+2\sqrt{y}=5. $$

Возведём в квадрат:

$$ 9-2y+4\sqrt{y(9-2y)}+4y=25, $$
$$ 4\sqrt{9y-2y^2}=16-2y. $$

Ещё раз возведём в квадрат:

$$ 16(9y-2y^2)=(16-2y)^2, $$
$$ 144y-32y^2=256-64y+4y^2, $$
$$ 36y^2-208y+256=0, $$
$$ 9y^2-52y+64=0. $$

$$ D=52^2-4\cdot 9\cdot 64=400, $$
$$ y_{1,2}=\frac{52\pm 20}{18}. $$

$$ y_1=\frac{16}{9}, \qquad y_2=4. $$

Область определения:

$$ y\ge 0,\quad 9-2y\ge 0 \Rightarrow y\le \frac92. $$
Оба значения подходят.

Тогда

$$ x_1=9-2\cdot \frac{16}{9}=\frac{49}{9}, \qquad x_2=9-2\cdot 4=1. $$

б)

$$ \begin{cases} 9^x\cdot 3^{y-3}=729,\\ \sqrt{x}-\sqrt{y}=1. \end{cases} $$

$$ 9^x=(3^2)^x=3^{2x}, \qquad 729=3^6, $$
поэтому
$$ 3^{2x}\cdot 3^{y-3}=3^6 \Rightarrow 2x+y-3=6 \Rightarrow y=9-2x. $$

Подставим во второе уравнение:

$$ \sqrt{x}-\sqrt{9-2x}=1. $$

$$ \sqrt{x}=1+\sqrt{9-2x}, $$
$$ x=1+2\sqrt{9-2x}+9-2x, $$
$$ 3x-10=2\sqrt{9-2x}. $$

Возведём в квадрат:

$$ (3x-10)^2=4(9-2x), $$
$$ 9x^2-60x+100=36-8x, $$
$$ 9x^2-52x+64=0. $$

$$ D=52^2-4\cdot 9\cdot 64=400, $$
$$ x_{1,2}=\frac{52\pm 20}{18}. $$

$$ x_1=\frac{16}{9}, \qquad x_2=4. $$

Проверим область определения:

$$ x\ge 0,\quad y=9-2x\ge 0,\quad 3x-10\ge 0 \Rightarrow x\ge \frac{10}{3}. $$

Подходит только $$x=4$$, тогда

$$ y=9-2\cdot 4=1. $$

Ответ

а) $$\left(\frac{49}{9};\frac{16}{9}\right),\ (1;4)$$; б) $$(4;1)$$.