Упр.33.28 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

Подробный ответ

а)

$$ \begin{cases} 5^{\sqrt[3]{x}}=5^{3-\sqrt[3]{y}},\\ (0{,}25^x)^y=\dfrac{1}{2^{16}}. \end{cases} $$

Из второго уравнения:
$$ (0{,}25^x)^y=\left(\dfrac14\right)^{xy}=\left(\dfrac12\right)^{2xy}=\left(\dfrac12\right)^{16}, $$
откуда
$$ 2xy=16,\qquad xy=8,\qquad y=\dfrac{8}{x}. $$

Из первого уравнения:
$$ \sqrt[3]{x}=3-\sqrt[3]{y}. $$
Подставим $$y=\dfrac{8}{x}$$:
$$ \sqrt[3]{x}=3-\sqrt[3]{\dfrac{8}{x}}=3-\dfrac{2}{\sqrt[3]{x}}. $$
Обозначим $$t=\sqrt[3]{x}$$, тогда
$$ t=3-\dfrac{2}{t},\qquad t^2-3t+2=0. $$

$$ (t-1)(t-2)=0,\qquad t=1 \text{ или } t=2. $$
Тогда
$$ x=1 \text{ или } x=8. $$
Соответственно,
$$ y=\dfrac{8}{x} \Rightarrow y=8 \text{ или } y=1. $$

б)

$$ \begin{cases} 32^{\sqrt[3]{x-2y}}\cdot 8^{\sqrt[3]{x+y}}=2^{13},\\ \dfrac{8^{\sqrt[3]{x-2y}}}{16^{\sqrt[3]{x+y}}}=4. \end{cases} $$

Переходим к основанию $$2$$:
$$ \begin{cases} 2^{5\sqrt[3]{x-2y}}\cdot 2^{3\sqrt[3]{x+y}}=2^{13},\\ \dfrac{2^{3\sqrt[3]{x-2y}}}{2^{4\sqrt[3]{x+y}}}=2^2. \end{cases} $$

Получаем систему:
$$ \begin{cases} 5\sqrt[3]{x-2y}+3\sqrt[3]{x+y}=13,\\ 3\sqrt[3]{x-2y}-4\sqrt[3]{x+y}=2. \end{cases} $$
Умножим первое уравнение на $$4$$, второе на $$3$$:
$$ \begin{cases} 20\sqrt[3]{x-2y}+12\sqrt[3]{x+y}=52,\\ 9\sqrt[3]{x-2y}-12\sqrt[3]{x+y}=6. \end{cases} $$
Сложим:
$$ 29\sqrt[3]{x-2y}=58,\qquad \sqrt[3]{x-2y}=2. $$
Тогда
$$ x-2y=8. $$

Подставим в первое уравнение:
$$ 5\cdot 2+3\sqrt[3]{x+y}=13, $$
$$ 3\sqrt[3]{x+y}=3,\qquad \sqrt[3]{x+y}=1, $$
$$ x+y=1. $$
Решаем систему
$$ \begin{cases} x-2y=8,\\ x+y=1. \end{cases} $$
Вычтем второе уравнение из первого:
$$ -3y=7,\qquad y=-\dfrac{7}{3}. $$
Тогда
$$ x=1-\left(-\dfrac{7}{3}\right)=\dfrac{10}{3}. $$