Упр.33.27 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

а) Рассмотрим систему:

$$ \begin{cases} 2^{6x-2y}=4^{x+y+10},\\ 3^{x^2}=3^{11+y}. \end{cases} $$

Так как $$4=2^2,$$ то первое уравнение можно записать так:

$$ 2^{6x-2y}=2^{2(x+y+10)}. $$

Тогда приравниваем показатели:

$$ 6x-2y=2x+2y+20, $$
$$ 4x-4y=20, $$
$$ x-y=5. $$

Из второго уравнения:

$$ x^2=11+y. $$

Подставим $$y=x-5$$:

$$ x^2=11+x-5, $$
$$ x^2-x-6=0, $$
$$ (x-3)(x+2)=0. $$

Отсюда:

$$ x=3 \quad \text{или} \quad x=-2. $$

Тогда

$$ y=3-5=-2,\qquad y=-2-5=-7. $$

Получаем решения: $$(-2;\,-7)$$ и $$ (3;\,-2).$$

б) Рассмотрим систему:

$$ \begin{cases} \dfrac{343^{x/y}}{7^{x-y}}=49,\\ \dfrac{5^{x/y}}{25^{x-y}}=1. \end{cases} $$

ОДЗ: $$y\ne 0.$$

Положим $$a=\dfrac{x}{y},\; b=x-y.$$ Тогда система примет вид:

$$ \begin{cases} \dfrac{343^a}{7^b}=49,\\ \dfrac{5^a}{25^b}=1. \end{cases} $$

Так как $$343=7^3,\; 49=7^2,\; 25=5^2,$$ получаем:

$$ \begin{cases} 7^{3a-b}=7^2,\\ 5^{a-2b}=5^0. \end{cases} $$

Следовательно,

$$ \begin{cases} 3a-b=2,\\ a-2b=0. \end{cases} $$

Из второго уравнения $$a=2b.$$ Подставим в первое:

$$ 3\cdot 2b-b=2, $$
$$ 5b=2, $$
$$ b=0{,}4. $$

Тогда

$$ a=2\cdot 0{,}4=0{,}8. $$

Возвращаемся к переменным $$x$$ и $$y$$:

$$ \frac{x}{y}=0{,}8,\qquad x-y=0{,}4. $$

Из $$x=0{,}8y$$ и $$x-y=0{,}4$$ имеем:

$$ 0{,}8y-y=0{,}4, $$
$$ -0{,}2y=0{,}4, $$
$$ y=-2. $$

Тогда

$$ x=0{,}8\cdot(-2)=-1{,}6. $$

Ответ

а) $$(-2;\,-7),\ (3;\,-2)$$;
б) $$(-1{,}6;\,-2).$$